笛卡尔树

笛卡尔树：

笛卡尔树是关于多个二元组 $(k_{i}, w_{i})$ 的一棵树，使其所有 $k$ 值满足二叉搜索树的性质，且所有 $w$ 值都满足小根堆的性质。笛卡尔树有一些关于区间最值的美好性质，常常用于处理关于区间最值的问题。

构建方法：

在构建时，对于右链上的元素，自底向上一定是 $w$ 值由小到大的，且一定 $k$ 值从小到大。

所以我们按 $k$ 值从小到大排序，比并按顺序插入右链中。

假设我们轮到第 $i$ 个元素插入，我们先找到在第一个右链中 $w$ 值大于 $w_{i}$ 的元素下标 $j$ 。因为这棵树需要满足二叉搜索树的性质，所以我们将 $j$ 以下的元素接到 $i$ 的左子树上，并将 $i$ 接到 $j$ 的右子树上。

使用栈模拟即可。

qwq

 for(int i = 1; i <= n; i++){
		while(top && a[stk[top]] > a[i]) top--;
		ls[i] = stk[top + 1];
		if(top) rs[stk[top]] = i;
		stk[++top] = i; stk[top + 1] = 0;
}

性质：

一个节点 $u$ 的子树内的子节点的值一定均小于等于该节点的值，若它的管辖区间是 $[l, r]$ ，则对于 $\forall l^{'}, r^{'}, l \leq l^{'} \leq u \leq r^{'} \leq r$ ，则 ${max}_{i = l^{'}}^{r^{'}} a_{i} = a_{u}$ 。
一个区间 $[l, r]$ 的最值位置是 $l$ , $r$ 在笛卡尔树上的 $L C A$ 。
对于一个 $a_{i}$ ，它左边第一个大于等于它的 $a_{j}$ 在笛卡尔树上是它向左的拐点祖先，右边同理。
对于一个有 $n$ 个节点且随机的笛卡尔树，树高期望为 $\log n$ 。