P7246 手势密码

Statement:

有一棵 $n(n\le 3\times {10}^6)$ 个点的树，每个点有点权 $w_i$。定义一次操作为选择树上的一条简单路径，并将这条简单路径上的所有点点权减去 $1$。
问至少需要多少次操作，使树上所有点的点权恰好变为 $0$。

Solution:

对于这样的问题不好入手，则优先考虑转化。

首先将第 $i$ 个大点拆成 $w_i$ 个小点，并将这些点都染上颜色 $i$，我们称两个相同颜色的点为兄弟点。

考虑最坏的情况，显然是需要 $\sum _{i=1}^n{w}_i$ 这么多次操作的，平摊到每个小点的贡献就是 $1$，于是我们考虑一种合并操作。即我们可以通过合并一些小点，使他们的对答案仅仅贡献 $1$ 次，于是可以消掉一些小点的贡献。容易观察到该过程等价于：

• 找到一组小点，且这组小点对应的大点组成一条简单路径。

• 这些小点没有任何一对是兄弟点。

• 每个点至多连两条边。

最后消掉的贡献 $ans$ 就是多少条边，换句话说，我们要让边数尽量的大，也就是合并的次数尽量大，并遵循上面的规则。

我们考虑递归解决此问题，假设我们已经到了点 $u$。还剩下一些点是未被合并的，这里有一个贪心，我们要让这些点尽量都在这个子问题内合并掉，而不是留给他的父亲去合并。感性理解就是，可能父亲没有这么多点去给你合并，而且如果你废弃了一些点，可能会导致答案变劣。

从而不难设计出一个树形 $\mathrm{D}\mathrm{P}$：记 $f_u$ 是考虑以 $u$ 为根的子树中，最多的合并次数。我们记 $a_u$ 是合并完后，$u$ 还剩下多少个点，$s_u$ 是 $u$ 节点最多合并多少次。

显然 $s_u=\sum _{v\in subtree(u)}min(a_u,a_v)$，$f_u=\sum _{v\in subtree(v)}{f}_v+s_u$。

code:

qwq

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
 
const int N = 3e6 + 10;
 
int n, a[N], f[N], ans;
struct edge{
	int v, next;
}edges[N << 1];
int head[N], idx;
 
void add_edge(int u, int v){
	edges[++idx] = {v, head[u]};
	head[u] = idx;
}
 
namespace Generate{
	int n,seed;
	static const int mod=1e9;
	int Rand(int x){
		seed=(1ll*seed*0x66CCF+19260817ll)%x+1;
		seed=(1ll*seed*0x77CCF+20060428ll)%x+1;
		seed=(1ll*seed*0x88CCF+12345678ll)%x+1;
		seed=(1ll*seed*0x33CCCCFF+10086001ll)%x+1;
		return seed;
	}
	void RS(){ //你需要传入三个参数，分别表示点权，一条边的两个端点 
		int cnt=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=Rand(mod); 
		for(int i=2;i<=n;i++){
			int fa=Rand(i-1);
			cnt++;
			add_edge(fa, i); add_edge(i, fa);
		}
	}
};
 
void dfs(int u, int fa){
	int sum = 0;
	for(int i = head[u]; i; i = edges[i].next){
		int v = edges[i].v;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, u); f[u] += f[v]; sum += min(a[u], a[v]);
	}
	f[u] += min(a[u] * 2, sum); a[u] -= min(a[u], max(0ll, sum - a[u]));
}
 
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int opt; cin >> opt; 
	if(opt == 1){
		cin >> n;
		for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], ans += a[i];
		for(int i = 1; i < n; i++){
			int x, y; cin >> x >> y;
			add_edge(x, y); add_edge(y, x);
		}
	}
	else{
		cin >> Generate::seed >> n;
		Generate::n = n;//记得赋值 
		Generate::RS(); //开始工作 
		for(int i = 1; i <= n; i++) ans += a[i];
	}
	dfs(1, 0);
	cout << ans - f[1];
	
	return 0;
}