Nim 游戏及其变形

Nim：

$n$ 堆物品，第 $i$ 堆 $a_i$ 个，两个玩家轮流取走任意一堆的任意个物品，但不能不取，不能操作者输。

结论：若 ${\oplus }_{i=1}^n{a}_i\ne 0$，先手必胜，反之后手必胜。

证明： 显然终局满足情况。

那么当 ${\oplus }_{i=1}^n{a}_i=k(k\ne 0)$ 时，我们只要令含有 $k$ 最大位的 $a_i\leftarrow a_i\oplus k$ 即可出现 $k=0$ 的情况，后手必然会使得 $k\ne 0$。交替进行则后手必然输。

K-Nim:

$n$ 堆物品，第 $i$ 堆 $a_i$ 个，两个玩家轮流取走任意 $k$ 堆的任意个物品，但不能不取，不能操作者输。

结论：若 $\sum _{bit=1}^{val}\sum _{i=1}^n((a_i{)}_{bit}\mathrm{mod}(k+1))\ne 0$，先手必胜，否则后手必胜。

证明：可以类比 $\mathrm{N}\mathrm{i}\mathrm{m}$ 的证明方法。

阶梯 Nim:

$n$ 堆物品，第 $i$ 堆 $a_i$ 个，两个玩家轮流选择第 $i$ 堆的任意个物品移动到 $i-1$ 堆，但不能不取，不能操作者输。（第 0 堆是垃圾桶）

结论：若 ${\oplus }_{i=1}^n{a}_i[i\mathrm{mod}2=1]\ne 0$，先手必胜，否则后手必胜。

证明： 后手遇到先手必胜的情况，如果将偶数堆的物品丢到了奇数堆，先手可以把它再丢进偶数堆。

Anti Nim:

$n$ 堆物品，第 $i$ 堆 $a_i$ 个，两个玩家轮流取走任意一堆的任意个物品，但不能不取，取到最后一个物品者输。

结论：一个状态是必胜态，当且仅当一下两种情况：

• 最大堆物品数量为 $1$，且有偶数堆物品。

• 最大堆物品数量大于 $1$，且 ${\oplus }_{i=1}^n{a}_i\ne 0$。

证明：

$(1)$ 最大堆物品数量为 $1$：

• $a.$ 物品堆数为偶数：先手必胜。

• $b.$ 物品堆数为奇数：先手必败。

$(2)$ 仅有一堆物品数量大于 $1$：

此时显然有 ${\oplus }_{i=1}^n{a}_i\ne 0$。

• $a.$ 有奇数堆物品：此时先手可以全部将最大堆的物品全部取光，转成 $(1)a.$ 了，先手必胜。

• $b.$ 有偶数堆物品：此时先手可以将最大堆的物品取得只剩一个，还是变为 $(1)a.$，先手必胜。

于是，在 $(2)$ 的情况下先手必胜。

$(3)$ 有两堆及以上的物品数量大于 $1$：

• $a.$ ${\oplus }_{i=1}^n{a}_i=0$ 时：可能转化为 $(3)b.$ 或者 $(2)$。

• $b.$ ${\oplus }_{i=1}^n{a}_i\ne 0:$ 一定可以转化为 $(3)a.$。

通过观察可以发现，若先手拿到的是 $(3)b.$ 的情况，则先手总是可以转化为 $(3)a.$ 的情况，使得后手最后只能将 $(2)$ 的局势交给先手。进一步可以推出 $(3)a.$ 为先手必败状态而 $(3)b.$ 是先手必胜状态。