Nim 游戏及其变形
Nim：
\(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆 \(a_i\) 个，两个玩家轮流取走任意一堆的任意个物品，但不能不取，不能操作者输。
结论：若 \(\oplus_{i=1}^n a_i \ne 0\)，先手必胜，反之后手必胜。
证明： 显然终局满足情况。
那么当 \(\oplus_{i=1}^n a_i = k(k \ne 0)\) 时，我们只要令含有 \(k\) 最大位的 \(a_i \gets a_i \oplus k\) 即可出现 \(k = 0\) 的情况，后手必然会使得 \(k \ne 0\)。交替进行则后手必然输。
K-Nim:
\(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆 \(a_i\) 个，两个玩家轮流取走任意 \(k\) 堆的任意个物品，但不能不取，不能操作者输。
结论：若 \(\sum_{bit = 1}^{val}\sum_{i = 1}^n ((a_i)_{bit}\mod(k + 1)) \ne 0\)，先手必胜，否则后手必胜。
证明：可以类比 \(\rm Nim\) 的证明方法。
阶梯 Nim:
\(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆 \(a_i\) 个，两个玩家轮流选择第 \(i\) 堆的任意个物品移动到 \(i - 1\) 堆，但不能不取，不能操作者输。（第 0 堆是垃圾桶）
结论：若 \(\oplus _{i = 1} ^ na_i[i \mod2 = 1] \ne 0\)，先手必胜，否则后手必胜。
证明： 后手遇到先手必胜的情况，如果将偶数堆的物品丢到了奇数堆，先手可以把它再丢进偶数堆。
Anti Nim:
\(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆 \(a_i\) 个，两个玩家轮流取走任意一堆的任意个物品，但不能不取，取到最后一个物品者输。
结论：一个状态是必胜态，当且仅当一下两种情况：
-
最大堆物品数量为 \(1\)，且有偶数堆物品。
-
最大堆物品数量大于 \(1\)，且 \(\oplus_{i=1}^na_i \ne 0\)。
证明：
\((1)\) 最大堆物品数量为 \(1\)：
-
\(a.\) 物品堆数为偶数：先手必胜。
-
\(b.\) 物品堆数为奇数：先手必败。
\((2)\) 仅有一堆物品数量大于 \(1\)：
此时显然有 \(\oplus_{i = 1}^n a_i\ne 0\)。
-
\(a.\) 有奇数堆物品：此时先手可以全部将最大堆的物品全部取光，转成 \((1)a.\) 了，先手必胜。
-
\(b.\) 有偶数堆物品：此时先手可以将最大堆的物品取得只剩一个，还是变为 \((1)a.\)，先手必胜。
于是，在 \((2)\) 的情况下先手必胜。
\((3)\) 有两堆及以上的物品数量大于 \(1\)：
-
\(a.\) \(\oplus_{i=1}^n a_i = 0\) 时：可能转化为 \((3)b.\) 或者 \((2)\)。
-
\(b.\) \(\oplus_{i=1}^n a_i \ne 0:\) 一定可以转化为 \((3)a.\)。
通过观察可以发现，若先手拿到的是 \((3)b.\) 的情况，则先手总是可以转化为 \((3)a.\) 的情况，使得后手最后只能将 \((2)\) 的局势交给先手。进一步可以推出 \((3)a.\) 为先手必败状态而 \((3)b.\) 是先手必胜状态。
