欧拉函数

合集 - 知识点学习(14)

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13.欧拉函数2024-04-25

14.数论函数小记2024-04-25

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定义：

欧拉函数（记为 $\varphi (n)$），表示的是一个数 $n$ 与小于等于它的数中有多少个满足 $gcd(n,x)=1$ ，即为互质。

计算公式：

• $\varphi (n)=n\cdot \prod _{i=1}^{cntn}(p_i-1)$ （其中 $p_i$ 是 $n$ 的质因子）.

性质：

• 性质一： 欧拉函数是积性函数，即对于满足 $gcd(a,b)=1$ 的 $(a,b)$ 有 $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.

• 性质二： $\varphi (a\cdot b)$ = $\varphi (a)\cdot \varphi (b)\cdot \frac{d}{\varphi (d)}(d=gcd(a,b))$.

  注：本式子十分重要，对于 $\varphi$ 里面出现乘积的情况常常用此式子进行拆分。

• 性质三： 若 $n$ 为质数，$\varphi (n)=n-1$.

• 性质四： $n=\sum _{d|n}\varphi (d)$.

  这里给出简单证明：

  考虑枚举 $[1,n]$ 中 $gcd(i,n)=d$ 的个数，显然有 $\varphi (\frac{n}{i})$ 个，把它们全部加起来即为 $[1,n]$ 中的数的数量，就是 $n$。

• 性质五： 对于 $d|n$ 且 $d$ 为质数，有 $\varphi (n\cdot d)=d\cdot \varphi (n)$, 对于 $d\nmid n$且 $d$ 是质数，有 $\varphi (n\cdot d)=(d-1)\cdot \varphi (n)$ .

• 性质六： 对于一个数 $i$，小于 $i$ 且与 $i$ 互质的数的和为 $\varphi (i)\times i/2$