欧拉函数

定义：

欧拉函数（记为 \(\phi(n)\)），表示的是一个数 \(n\) 与小于等于它的数中有多少个满足 \(\gcd(n, x) = 1\) ，即为互质。

计算公式：

• \(\phi(n) = n \cdot \prod_{i = 1}^{cntn}(p_i - 1)\) （其中 \(p_i\) 是 \(n\) 的质因子）.

性质：

• 性质一： 欧拉函数是积性函数，即对于满足 \(\gcd(a,b) = 1\) 的 \((a, b)\) 有 \(\phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b)\).

• 性质二： \(\phi(a \cdot b)\) = \(\phi(a) \cdot \phi(b) \cdot \frac{d}{\phi(d)} (d = gcd(a,b))\).

  注：本式子十分重要，对于 \(\phi\) 里面出现乘积的情况常常用此式子进行拆分。

• 性质三： 若 \(n\) 为质数，\(\phi(n) = n - 1\).

• 性质四： \(n = \sum_{d | n} \phi(d)\).

  这里给出简单证明：

  考虑枚举 \([1,n]\) 中 \(gcd(i, n) = d\) 的个数，显然有 \(\phi(\frac{n}{i})\) 个，把它们全部加起来即为 \([1,n]\) 中的数的数量，就是 \(n\)。

• 性质五： 对于 \(d|n\) 且 \(d\) 为质数，有 \(\phi(n \cdot d) = d \cdot \phi(n)\), 对于 \(d \nmid n\)且 \(d\) 是质数，有 \(\phi(n \cdot d) = (d - 1) \cdot \phi(n)\) .

• 性质六： 对于一个数 \(i\)，小于 \(i\) 且与 \(i\) 互质的数的和为 \(\phi(i) \times i / 2\)