三维偏序

合集 - 知识点学习(14)

1.网络流小记2024-04-242.树同构2024-04-253.容斥原理2024-04-254.笛卡尔树2024-04-255.欧拉路径&&欧拉回路2024-04-256.割点&&桥&&边双&&点双2024-04-257.矩阵2024-04-258.P2024 [NOI2001] 食物链2024-04-259.树链剖分2024-04-2510.FHQ Treap2024-04-25

11.三维偏序2024-04-25

12.主席树学习笔记2024-04-2513.欧拉函数2024-04-2514.数论函数小记2024-04-25

收起

cdq 分治:

一个长度为 $n$ 的序列，统计有一些特性的点对 $(i,j)$ 的数量/找到一对点 $(i,j)$ 使得一些函数的值最大。对于这一类问题，我们考虑使用 $\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{q}$ 分治思想来解决。

• 什么是 $\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{q}$ 分治思想？

$\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{q}$ 解决这种问题所使用的是分治思想，但却有些不同，具体流程如下：

• 假设我们现在要求的是 $[l,r]$ 这个区间的所有点对所对应的答案。

• 令中点 $mid=(l+r)/2$

• 将点对分为三类：

  1.$x$ 和 $y$ 均在 $[l,mid]$ 中的 $(x,y)$ 点对

  2.$x$ 在 $[l,mid]$ 中，$y$ 在 $[mid+1,r]$ 中的 $(x,y)$ 点对

  3.$x$ 和 $y$ 均在 $[mid+1,r]$ 的 $(x,y)$ 的点对

• 此时对 1、3 类点对进行递归计算，并设法求出第 2 种点对的答案。

Solution:

回到 P3810 【模板】三维偏序 中，在本题中 $\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{q}$ 分治思想如何应用？

首先简化一下问题，将点按 $a$ 排序，此时已经满足了第一个条件。

那么我们考虑在 $\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{q}$ 过程中第三种点对如何去求。

此时我们为了方便处理，对左右两半分别按 $b$ 从小到大进行归并排序。

维护两个指针 $i$ 和 $j$ 分别是 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 归并到哪，同时维护一颗权值树状数组。比较 $i$ 和 $j$ 两点 $b$ 的大小并插入，假如此时我们插入的是 $i$。 那么我们更新 $p[i].c$ 。否则我们可以直接前缀和统计答案。

记得去重。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
 
const int N=1e5+10;
int n,m;
struct point{
	int x,y,z;
	int cnt,ans;
}p[N],tmp[N];
 
struct BIT{
	int t[N<<1];
	int lowbit(int x){return x&-x;}
	void add(int x,int k){
		while(x<=m){
			t[x]+=k;
			x+=lowbit(x);
		}
		return;
	}
	int sum(int x){
		int ret=0;
		while(x>0){
			ret+=t[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ret;
	}
}tree;
 
bool cmp(struct point p1,struct point p2){
	if(p1.x!=p2.x)return p1.x<p2.x;
	if(p1.y!=p2.y)return p1.y<p2.y;
	return p1.z<p2.z;
}
void cdq(int l,int r){
	if(l>=r)return;
	int mid=(l+r>>1);
	cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);
	int cnt=0;
	int i=l,j=mid+1;
	while(i<=mid&&j<=r){
		if(p[i].y<=p[j].y)tree.add(p[i].z,p[i].cnt),tmp[++cnt]=p[i++];
		else{
			p[j].ans+=tree.sum(p[j].z);
			tmp[++cnt]=p[j++];
		}
	}
	while(i<=mid)tree.add(p[i].z,p[i].cnt),tmp[++cnt]=p[i++];
	while(j<=r)p[j].ans+=tree.sum(p[j].z),tmp[++cnt]=p[j++];
	for(int i=l;i<=mid;i++)tree.add(p[i].z,-p[i].cnt);
	for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=tmp[i-l+1];
	return;
}
 
int res[N];
 
signed main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>p[i].x>>p[i].y>>p[i].z,p[i].cnt=1;
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	int tmpcnt=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(p[i].x==p[tmpcnt].x&&p[i].y==p[tmpcnt].y&&p[i].z==p[tmpcnt].z){
			p[tmpcnt].cnt++;
			continue;
		}
		p[++tmpcnt]=p[i];
	}
	cdq(1,tmpcnt);
	//for(int i=1;i<=n;i++)cout<<p[i].x<<" "<<p[i].y<<" "<<p[i].z<<" "<<f[i]<<" "<<p[i].cnt<<endl;
	for(int i=1;i<=tmpcnt;i++)res[p[i].ans+p[i].cnt-1]+=p[i].cnt;
	for(int i=0;i<n;i++)cout<<res[i]<<"\n";
	
	return 0;
}