三维偏序

cdq 分治:

一个长度为 \(n\) 的序列，统计有一些特性的点对 \((i,j)\) 的数量/找到一对点 \((i,j)\) 使得一些函数的值最大。对于这一类问题，我们考虑使用 \(\rm cdq\) 分治思想来解决。

• 什么是 \(\rm cdq\) 分治思想？

\(\rm cdq\) 解决这种问题所使用的是分治思想，但却有些不同，具体流程如下：

• 假设我们现在要求的是 \([l,r]\) 这个区间的所有点对所对应的答案。

• 令中点 \(mid=(l+r)/2\)

• 将点对分为三类：

  1.\(x\) 和 \(y\) 均在 \([l,mid]\) 中的 \((x,y)\) 点对

  2.\(x\) 在 \([l,mid]\) 中，\(y\) 在 \([mid+1,r]\) 中的 \((x,y)\) 点对

  3.\(x\) 和 \(y\) 均在 \([mid+1,r]\) 的 \((x,y)\) 的点对

• 此时对 1、3 类点对进行递归计算，并设法求出第 2 种点对的答案。

Solution:

回到 P3810 【模板】三维偏序 中，在本题中 \(\rm cdq\) 分治思想如何应用？

首先简化一下问题，将点按 \(a\) 排序，此时已经满足了第一个条件。

那么我们考虑在 \(\rm cdq\) 过程中第三种点对如何去求。

此时我们为了方便处理，对左右两半分别按 \(b\) 从小到大进行归并排序。

维护两个指针 \(i\) 和 \(j\) 分别是 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 归并到哪，同时维护一颗权值树状数组。比较 \(i\) 和 \(j\) 两点 \(b\) 的大小并插入，假如此时我们插入的是 \(i\)。 那么我们更新 \(p[i].c\) 。否则我们可以直接前缀和统计答案。

记得去重。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N=1e5+10;
int n,m;
struct point{
	int x,y,z;
	int cnt,ans;
}p[N],tmp[N];

struct BIT{
	int t[N<<1];
	int lowbit(int x){return x&-x;}
	void add(int x,int k){
		while(x<=m){
			t[x]+=k;
			x+=lowbit(x);
		}
		return;
	}
	int sum(int x){
		int ret=0;
		while(x>0){
			ret+=t[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ret;
	}
}tree;

bool cmp(struct point p1,struct point p2){
	if(p1.x!=p2.x)return p1.x<p2.x;
	if(p1.y!=p2.y)return p1.y<p2.y;
	return p1.z<p2.z;
}
void cdq(int l,int r){
	if(l>=r)return;
	int mid=(l+r>>1);
	cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);
	int cnt=0;
	int i=l,j=mid+1;
	while(i<=mid&&j<=r){
		if(p[i].y<=p[j].y)tree.add(p[i].z,p[i].cnt),tmp[++cnt]=p[i++];
		else{
			p[j].ans+=tree.sum(p[j].z);
			tmp[++cnt]=p[j++];
		}
	}
	while(i<=mid)tree.add(p[i].z,p[i].cnt),tmp[++cnt]=p[i++];
	while(j<=r)p[j].ans+=tree.sum(p[j].z),tmp[++cnt]=p[j++];
	for(int i=l;i<=mid;i++)tree.add(p[i].z,-p[i].cnt);
	for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=tmp[i-l+1];
	return;
}

int res[N];

signed main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>p[i].x>>p[i].y>>p[i].z,p[i].cnt=1;
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	int tmpcnt=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(p[i].x==p[tmpcnt].x&&p[i].y==p[tmpcnt].y&&p[i].z==p[tmpcnt].z){
			p[tmpcnt].cnt++;
			continue;
		}
		p[++tmpcnt]=p[i];
	}
	cdq(1,tmpcnt);
	//for(int i=1;i<=n;i++)cout<<p[i].x<<" "<<p[i].y<<" "<<p[i].z<<" "<<f[i]<<" "<<p[i].cnt<<endl;
	for(int i=1;i<=tmpcnt;i++)res[p[i].ans+p[i].cnt-1]+=p[i].cnt;
	for(int i=0;i<n;i++)cout<<res[i]<<"\n";
	
	return 0;
}