树同构

合集 - 知识点学习(14)

1.网络流小记2024-04-24

2.树同构2024-04-25

3.容斥原理2024-04-254.笛卡尔树2024-04-255.欧拉路径&&欧拉回路2024-04-256.割点&&桥&&边双&&点双2024-04-257.矩阵2024-04-258.P2024 [NOI2001] 食物链2024-04-259.树链剖分2024-04-2510.FHQ Treap2024-04-2511.三维偏序2024-04-2512.主席树学习笔记2024-04-2513.欧拉函数2024-04-2514.数论函数小记2024-04-25

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树同构是树哈希与换根 dp 的结合。

树哈希是哈希中的一个种类，这里先给出哈希函数：

$$\mathrm{treehash}(u)=\sum \mathrm{xorshift}(\mathrm{treehash}(v))$$

这里使用 unsigned long long 的自然溢出特性代替取模。

我们设 $g[u]$ 是以 $u$ 为根的子树的 hash 值。

直接使用上式计算即可。

再设 $f[u]$ 为以 $u$ 为根的整棵树的 hash 值。

易知：$f[u]=\mathrm{treehash}(f[fa]-\mathrm{xorshift}(\mathrm{g}[\mathrm{u}]))+g[u]$

贴个代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int unsigned long long
using namespace std;
 
int rp;
 
const int N=1e3+10;
int g[N],f[N];
struct edge{
	int v,next;
}edges[N*2];
int head[N],idx;
set<int>s[N];
int n;
 
void add_edge(int u,int v){
	idx++;
	edges[idx].v=v;
	edges[idx].next=head[u];
	head[u]=idx;
	return;
}
 
int xor_shift(int x){
	x^=rp;
	x^=x<<13;
	x^=x>>7;
	x^=x<<17;
	x^=rp;
	return x;
}
 
void init(){
	idx=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)head[i]=0;
	return;
}
 
void get_hash_val(int u,int fa){
	g[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=edges[i].next){
		int v=edges[i].v;
		if(v==fa)continue;
		get_hash_val(v,u);
		g[u]+=xor_shift(g[v]);
	}
	return;
}
 
void dfs(int u,int fa){
	if(fa==0){
		f[u]=g[u];
	}
	else{
		f[u]=xor_shift(f[fa]-xor_shift(g[u]))+g[u];
	}
	for(int i=head[u];i;i=edges[i].next){
		int v=edges[i].v;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
	}
	return;
}
 
signed main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	srand(time(NULL));
	rp=rand();rp++;
	int t;
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=t;i++){
		cin>>n;
		init();
		int root=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			int x;
			cin>>x;
			if(x!=0){
				add_edge(x,j);
				add_edge(j,x);
			}
			else root=j;
		}
		assert(root);
		get_hash_val(root,0);
		dfs(root,0);
		int ans=i;
		for(int j=1;j<=n;j++)s[i].insert(f[j]);
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<t;k++){
				if(s[k].count(f[j])){
					ans=min(k,ans);
				}
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	
	return 0;
}