网络流小记

合集 - 知识点学习(14)

1.网络流小记2024-04-24

2.树同构2024-04-253.容斥原理2024-04-254.笛卡尔树2024-04-255.欧拉路径&&欧拉回路2024-04-256.割点&&桥&&边双&&点双2024-04-257.矩阵2024-04-258.P2024 [NOI2001] 食物链2024-04-259.树链剖分2024-04-2510.FHQ Treap2024-04-2511.三维偏序2024-04-2512.主席树学习笔记2024-04-2513.欧拉函数2024-04-2514.数论函数小记2024-04-25

收起

I.基本定义：

• 网络：一张有向图。

• 流量：经过一条边的流的大小，一条边 $(u,v)$ 的流量记为 $flow(u,v)$， 一个网络的流量定义为 $\sum f(s,x)$。

• 容量：一条边的流量上限，一条边 $(u,v)$ 的容量记为 $cap(u,v)$。

• 费用：经过一条边单位流量的所需费用，一条边 $(u,v)$ 的费用记为 $cost(u,v)$。

• 源点：所有流的起始点, 记为 $s$。

• 汇点：所有流的终止点，记为 $t$。

• 割：是网络的一个划分， 一个割 {$S,T$} 的容量定义为 $||S,T||=\sum _{u\in S}\sum _{v\in T}cap(u,v)$。

• 残量网络：每条边剩余可走的流量组成的网络。

网络流的性质：

1. 斜对称性：$flow(u,v)=-flow(v,u)$

2. 流量守恒：$\sum _{u\ne x,t\ne y}flow(u,x)=\sum flow(y,u)$

3. 容量限制： $flow(u,v)\le cap(u,v)$

II.一些定理：

增广路定理：

• 增广路：在残量网络中的一条 $s$ 到 $t$ 的路径，满足路径上的残量均大于 $0$。

一个流为最大流当且仅当网络中没有增广路，证明显然。

最大流最小割定理：

对于任意网络，最大流 $f$ 和最小割 $\{S,T\}$ 总是满足 $|f|=||S,T||$。

• 证明：首先显然有 $|f|\le ||S,T||$，因为根据割的定义 $S,T$ 互不相交，$S->T$ 的流量一定大于等于 $|f|$，考虑如何构造取到等号。

III.最大流：

EK 算法：

对于求一张图的最大流，我们考虑引入反向边的概念。

• 反向边：一条边的反向边定义为一条流向与原边相反，容量为 $0$，流量与原边相反的边。

经过反向边相当于做退流操作，类似于反悔，这也是 EK 算法的关键之处。具体的，我们将反向边一并加入到残量网络中，并与原边一起考虑。

由上面的定理，我们可以得到以下算法：

1. 在残量网络上找一条增广路，将这条路径上的流大小记为 $flow$。

2. 将路径上的所有边加上 $flow$，反向边减掉 $flow$。

我们暴力的使用 $dfs$ 去找，时间复杂度 $O(n{m}^2)$。

Dinic 算法：

考虑优化上面的算法，$\mathrm{E}\mathrm{K}$ 算法一次只找到一条增广路，这使得有一些无用的操作，考虑一次进行多路增广，即一次找到多条增广路。

我们考虑对残量网络进行分层，这样我们可以一次找到多条长度相同的增广路并进行增广。分层容易用 $\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{S}$ 实现。

接着我们考虑进行多路增广，这个使用 $\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{S}$ 也不难实现。这里有一个叫做当前弧优化的东西，作用是让已经考虑过的边不再考虑，可以保证时间复杂度在 $O(n^{2}m)$，实现开一个数组记录即可。建议结合代码食用。

qwq

一些例题：

this

（有待修缮）

IV.费用流：

在费用流问题中，每条边多了一个元素称作费用，一个流的费用等于该流经过的边的费用和乘上流的大小。费用流问题中最经典的是最小费用最大流问题，即在最大化流大小的情况下最小化费用和。

其实这个问题非常简单，我们每次选择流最大的增广路中最小费用的进行增广即可。

qwq

namespace Dinic{
	struct edge{
		int v, flow, cap, cost, next;
	}edges[M << 1];
	int head[N], idx = 1;
	int cur[N], dis[N], s, t, siz, maxflow, mincost;
	bool vis[N]; 
	void add_edge(int u, int v, int cap, int cost){
		edges[++idx] = {v, 0, cap, cost, head[u]};
		head[u] = idx;
	}
	void addline(int u, int v, int cap, int cost){add_edge(u, v, cap, cost); add_edge(v, u, 0, -cost);}
	bool SPFA(){
		for(int i = 1; i <= siz; i++) dis[i] = INF, cur[i] = head[i], vis[i] = false;
		dis[s] = 0; queue<int> Q; Q.push(s);
		while(!Q.empty()){
			int u = Q.front(); Q.pop();
			vis[u] = false;
			for(int i = head[u]; i; i = edges[i].next){
				int v = edges[i].v;
				if(dis[v] > dis[u] + edges[i].cost && edges[i].cap > edges[i].flow){
					dis[v] = dis[u] + edges[i].cost;
					if(!vis[v]) Q.push(v), vis[v] = true;
				}
			}
		}
		for(int i = 1; i <= siz; i++) vis[i] = false;
		return (dis[t] != INF);
	}
	int dfs(int u, int flow, int &cost){
		if((!flow) || u == t) return flow;
		int ret = 0; vis[u] = true;
		for(int& i = cur[u]; i; i = edges[i].next){
			int v = edges[i].v, d;
			if((!vis[v]) && dis[v] == dis[u] + edges[i].cost && (d = dfs(v, min(flow - ret, edges[i].cap - edges[i].flow), cost))){
				ret += d; edges[i].flow += d; edges[i ^ 1].flow -= d; cost += edges[i].cost * d;
				if(flow == ret) return flow;
			} 
		}
		vis[u] = false;
		return ret;
	}
	void dinic(){
		while(SPFA()){
			int cost = 0;
			maxflow += dfs(s, INF, cost); mincost += cost;
		}
	}
}

V.上下界网络流：

现在我们在普通网络流的基础上再给每条边增加一个属性：流量上界，即经过一条边的流量至少要大于等于流量下界。

1.无源汇上下界可行流：

对于一张