点分治小记
点分治是一类高效统计树上路径问题的算法，通过优化递归深度的方法来有效保证时间复杂度。
具体操作一般是以下几步：
-
找到当前子树的重心
-
以重心为根计算经过根节点的路径对答案的贡献
-
将根删去并递归处理它的所有子树
因为我们每次都以树的重心来作为根节点，递归深度不会超过 \(\log n\) 层。 每一层又顶多计算 \(n\) 个节点，因此时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。
一般计算贡献有两种方式：
1.统计这棵树内所有路径贡献并将只在一棵子树内的减去。
2.直接枚举子树并计算贡献。
一般来说可以使用数据结构来辅助计算贡献，像线段树，树状数组以及单调队列都是不错的选择。
例题
P4178 Tree
第一种计算方式，配合一个双指针就可以了。
（主要是为了贴个代码）
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
struct edge{
int v, w, next;
}edges[N << 1];
int head[N], idx;
int n, k, siz[N], dis[N], root, rtsiz, ans;
int tmp[N], tp;
bool vis[N];
void add_edge(int u, int v, int w){
edges[++idx] = {v, w, head[u]};
head[u] = idx;
}
void getwson(int u, int fa, int nodeCnt){
siz[u] = 1; int mxsz = 0;
for(int i = head[u]; i; i = edges[i].next){
int v = edges[i].v;
if(v == fa || vis[v]) continue;
getwson(v, u, nodeCnt); siz[u] += siz[v]; mxsz = max(mxsz, siz[v]);
}
mxsz = max(nodeCnt - siz[u], mxsz);
if(mxsz < rtsiz) rtsiz = mxsz, root = u;
}
void getdis(int u, int fa, int d){
tmp[++tp] = d;
for(int i = head[u]; i; i = edges[i].next){
int v = edges[i].v;
if((!vis[v]) && v != fa) getdis(v, u, d + edges[i].w);
}
}
void calc(int flag){
sort(tmp + 1, tmp + tp + 1); int j = 0, ret = 0;
for(int i = tp; i > 0; i--){
while(tmp[i] + tmp[j + 1] <= k && j < tp) j++;
ret += (j - (j >= i));
}
ans += (ret / 2) * flag;
}
void solve(int u, int fa, int nodeCnt){
rtsiz = nodeCnt - 1, root = u;
tp = 0; getwson(u, fa, nodeCnt);
vis[root] = true; getdis(root, 0, 0); calc(1);
for(int i = head[root]; i; i = edges[i].next){
int v = edges[i].v;
if(v == fa || vis[v]) continue;
tp = 0; getdis(v, root, edges[i].w); calc(-1);
}
for(int i = head[root]; i; i = edges[i].next){
int v = edges[i].v;
if(v == fa || vis[v]) continue;
solve(v, root, siz[v]);
}
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n;
for(int i = 1; i < n; i++){
int x, y, w;
cin >> x >> y >> w;
add_edge(x, y, w); add_edge(y, x, w);
}
cin >> k;
solve(1, 0, n);
cout << ans;
return 0;
}
2.P4149 [IOI2011] Race
第二种计算方法。
开一个桶 \(cnt\) 记录，路径权值为 \(w\) 时，路径边数的最小值。
然后对于一棵子树 \(v\) 到根的路径 \(i\) 权值 \(w\)，更新 \(ans = min(ans, dep[i] + cnt[k-w]])\)
注意计算的时候不要更新桶，一定要等到一棵子树的答案全部计算完之后再更新。
code:
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
struct edge{
int v, w, next;
}edges[N << 1];
int head[N], idx;
int n, k, dep[N], siz[N], dis[N], root, rtsiz, ans = INF;
int tmp[N], tp, cnt[N];
bool vis[N];
void add_edge(int u, int v, int w){
edges[++idx] = {v, w, head[u]};
head[u] = idx;
}
void getroot(int u, int fa, int ncnt){
siz[u] = 1; int mxsz = 0;
for(int i = head[u]; i; i = edges[i].next){
int v = edges[i].v;
if(v == fa || vis[v]) continue;
getroot(v, u, ncnt); siz[u] += siz[v]; mxsz = max(mxsz, siz[v]);
}
mxsz = max(mxsz, ncnt - siz[u]);
if(mxsz < rtsiz) rtsiz = mxsz, root = u;
}
void getdis(int u, int fa, int d, int d2){
tmp[++tp] = d; dep[tp] = d2; siz[u] = 1;
for(int i = head[u]; i; i = edges[i].next){
int v = edges[i].v;
if(v != fa && (!vis[v])) getdis(v, u, d + edges[i].w, d2 + 1), siz[u] += siz[v];
}
}
void solve(int u, int fa, int ncnt){
rtsiz = ncnt - 1, root = u;
tp = 0; getroot(u, fa, ncnt);
vis[root] = true; dep[root] = 0;
for(int i = head[root]; i; i = edges[i].next){
int v = edges[i].v;
if(vis[v] || v == fa) continue;
getdis(v, root, edges[i].w, 1);
for(int j = tp - siz[v] + 1; j <= tp; j++) if(tmp[j] <= k) ans = min(ans, dep[j] + cnt[k - tmp[j]]);
for(int j = tp - siz[v] + 1; j <= tp; j++) if(tmp[j] <= k) cnt[tmp[j]] = min(cnt[tmp[j]], dep[j]);
}
for(int i = 1; i <= tp; i++) if(tmp[i] <= k) cnt[tmp[i]] = INF;
for(int i = head[root]; i; i = edges[i].next){
int v = edges[i].v;
if((!vis[v]) && u != fa) solve(v, root, siz[v]);
}
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n >> k; memset(cnt, 0x3f, sizeof cnt); cnt[0] = 0;
for(int i = 1; i < n; i++){
int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
add_edge(v + 1, u + 1, w); add_edge(u + 1, v + 1, w);
}
solve(1, 0, n);
if(ans != INF) cout << ans;
else cout << -1;
return 0;
}
726f6a57-7dd3-4e25-8f40-391d8570e879
