洛谷 P2261 [CQOI2007]余数求和 题解

一、题目：

洛谷原题

题目背景

数学题，无背景

题目描述

给出正整数n和k，计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29

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两个整数n k

输出格式：

答案

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10 5

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29

说明

30%: n,k <= 1000

60%: n,k <= 10^6

100% n,k <= 10^9

二、思路

数论分块题模板题。

\(ans\)

\(=\sum_{i=1}^n k \mod i\)

\(=\sum_{i=1}^n k-i\times \lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)

我们注意到\(\lfloor \frac{k}{i}\rfloor\)在i的一定范围内是相等的，所以我们可以不断算出这个范围，然后一次性计算即可。由于\(\lfloor \frac{k}{i}\rfloor\)的不同取值大概有\(\sqrt n\)个，所以时间复杂度为\(O(\sqrt n)\)。

三、代码：

/*
 * @Author: 岸芷汀兰
 * @Date: 2018-11-05 22:25:21
 * @LastEditors: 岸芷汀兰
 * @LastEditTime: 2018-11-05 23:14:56
 * @Description: P2261 of luogu
 */
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

#define LL long long
#define mem(s,v) memset(s,v,sizeof(s))

using namespace std;
template<class Type>
inline Type read(void){
    Type x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}

LL n,k,ans;

LL Sum(LL l,LL r){
    return (l+r)*(r-l+1)/2;
}

int main(){
    n=read<LL>();k=read<LL>();
    LL l=1;
    ans=n*k;
    while(l<=n){
        LL shang=k/l,r;
        if(shang)r=min(k/shang,n);
        else r=n;
        LL sum=shang*Sum(l,r);
        ans-=sum;
        l=r+1;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}