矩阵加速相关总结
下面来总结一下最近刷过的矩阵加速DP的题目。
普通矩阵快速幂
拆点
如果图中的边有边权而且边权很小，可以考虑拆点。
边化点
如果有一些形如不能走回头路的限制，可以考虑边化点。
bitset优化矩阵乘法
如果矩阵是01矩阵且操作可以用位运算优化，可以考虑bitset优化矩阵乘法
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分组
根据矩阵的结合律，可以先将一个矩阵自乘 \(p\) 次，在将自乘后的矩阵自乘 \(n/p\) 次。
广义矩阵乘法
考虑这样的式子：
\[c[i,j]=\bigoplus\limits_{k=1}^\beta\left(a[i,k]\otimes b[k,j] \right)
\]
只要满足一下几个条件，该式子就可以作为矩阵乘法进行使用。（主要是满足矩阵乘法的结合律）
- \(\otimes\) 满足交换律、结合律。
- \(\otimes\) 对 \(\oplus\) 有分配率。
P2886 [USACO07NOV]Cow Relays G
二进制拆分
如果有多个询问，且每个询问我们都要对 \(n\times n\) 的矩阵做快速幂时，可以考虑先将该矩阵的2的整次幂的幂次预处理出来。对于每个询问，我们只需要将询问二进制拆分以后再进行求解。
