Burnside引理和Polya定理相关总结
Burnside引理一般求解步骤
- 列出所有的可能的状态。
- 把所有的操作用置换的形式写出来。
- 数出每种置换不动点的数目。
- 利用Burnside引理求解：\(L = \dfrac{1}{|G|}\sum_{\tau \in G}c_1(\tau)\)。可以简记为每个置换不动点个数的平均值就是方案数。
利用Polya定理对Burnside引理进行优化
条件：
对于任意一个置换\(\tau\)，将其拆分成若干个循环。每个循环彼此之间相互独立。
做法：
试想，如果一种状态是\(\tau\)的不动点，那么任意一个循环中的点的“颜色”必须是相同的。设一共有\(m\)中颜色。那每个循环就会有\(m\)种方案。设\(c(\tau)\)为\(\tau\)置换包含的循环个数。那么\(\tau\)置换不动点的个数\(c_1(\tau)=m^{c(\tau)}\)。
所以\(L=\dfrac{1}{|G|}\sum_{\tau\in{G}}m^{c(\tau)}\)。
