卡特兰数相关总结
一、前置知识
在笛卡尔坐标系中，起点为\((0,0)\)，终点为\((n,m)\)，每一步只能向上或向右走的方案数为\(C_{n+m}^n\)。
二、基本卡特兰数
首先亮出卡特兰数的基本公式：
那么卡特兰数有许多经典问题，我们来从最经典的入手。
例一：在平面直角坐标系中，起点为\((0,0)\)，终点为\((n,n)\)，第一步只能向上走。在之后的移动中可以向上走或向右走，但不能超出直线\(y=x\) 。求方案数。
首先这个方案数可以表示为从(0,0)走到(n,n)的总方案数减去至少超出一次的方案数。
从(0,0)走到(n,n)的总方案数即为\(C_{2n}^n\).
现在考虑至少超出一次的方案数。当我们刚刚超出直线\(y = x\)的时候，我们一定处于直线\(y = x - 1\)上，把此时所在的点记为点A。现在我们做这样一件事情，把原本从点A到终点的路径围绕直线\(y = x - 1\)翻折，那么这条路径就变成从原点到点\((n+1,n-1)\)的一条路径。
我们又可以发现，所有违法的路径与所有从原点到\((n + 1, n - 1)\)的路径构成一一对应关系。证明极其简单，在脑子里想一下就行了。
所以至少超出一次的方案数就是\(C_{(n+1)+(n-1)}^{n+1}=C_{2n}^{n+1}\)
最终的答案即为\(C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1}\)。化简后得到\(\frac{C_{2n}^n}{n + 1}\)。
三、扩展卡特兰数
例二：其他条件与例一相同，唯一不一样的是把直线\(y = x\) 改为直线\(y = x - m\)。\((m\geq 1)\)
有了刚才的思路，我们很容易想到把违法的路径从点A到终点的部分围绕直线\(y = x - m - 1\)翻折，可以得到从原点到\((n - m - 1, n +m + 1)\)的路径。同样，两者构成一一对应关系。
最终的答案即为\(C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n - m - 1}\)。
四、应用
看一道真实的考试题。
如果我们把左括号看成上文例题中的“向上走一步”，右括号看成“向右走一步”，我们会发现本题中所说的“至少有\(2\times m\)个括号失配”就是“在走的过程中，接触过直线\(y=x-m\)的一条路径”。注意：是“接触过直线\(y=x-m\)”，不能超出，也不能不接触。
所以方案数就应该为“不超过\(y=x- m\)”减去“不超过\(y=x-m-1\)”。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define LL long long
#define FILEIN(s) freopen(s".in", "r", stdin)
#define FILEOUT(s) freopen(s".out", "w", stdout)
#define mem(s, v) memset(s, v, sizeof(s))
inline LL read(void) {
LL x = 0, f = 1; char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
return f * x;
}
const int maxn = 1000005, mod = 998244353;
LL n, m;
LL fac[maxn << 1], facinv[maxn << 1];
inline LL power(LL a, LL b) {
LL ret = 1;
for (; b; b >>= 1) {
if (b & 1) ret = ret * a % mod;
a = a * a % mod;
}
return ret;
}
inline void init(void) {
fac[0] = 1;
for (register int i = 1; i <= 2000000; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
facinv[2000000] = power(fac[2000000], mod - 2);
for (register int i = 1999999; i >= 0; --i) {
facinv[i] = facinv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
}
inline LL C(LL n, LL m) {
return fac[n] * facinv[m] % mod * facinv[n - m] % mod;
}
inline LL excatalan(LL n, LL m) {
return ((C(2 * n, n) - C(2 * n, n - m - 1)) % mod + mod) % mod;
}
int main() {
n = read(); m = read();
init();
if (!m) return printf("%lld\n", C(2 * n, n) * power(n + 1, mod - 2) % mod), 0;
return printf("%lld\n", ((excatalan(n, m) - excatalan(n, m - 1)) % mod + mod) % mod), 0;
}
