树上数数 题解
一、题目：
个人私题，请注意版权保护。
二、思路：
树上莫队经典例题。其莫队的思想也很经典。
首先考虑在树上怎样莫队。我们很熟悉在序列上进行莫队，那么我们考虑将树转化成序列。那么什么序列能将子树转化为一个区间呢？当然是dfs序了！
然后回忆HH的项链那道经典题。它问的是“一段区间所包含的不同颜色的数量”，我们开桶cnt[i]保存i颜色出现的数量。而这道题我们问的是“出现次数大于等于K的颜色数量”，cnt数组还是要有的，还需要什么?我们很自然地想到用某个数据结构sum高效计算出现次数大于等于i的颜色数量。
那么怎么高效维护这个数据结构呢？首先很容易想到的是log级数据结构，比如权值线段树或权值树状数组。sum[i]表示出现次数为i的颜色数量，比如对于当前扫到的颜色col，每次在更新cnt[col]的时候记原先的cnt[col]为former,更新后的cnt[col]为now，将sum[former]减一，将sum[now]加一。查询时只需查询[k,n]的区间和即可。这是可以通过本题的。时间复杂度\(O(n\sqrt n \log n\)).
但是上述做法无论编程复杂度和时间复杂度都较高。我们考虑优化。更改sum的意义。sum[i]表示出现次数大于等于i的颜色数量。冷静分析。当我们准备将cnt[col]加一时，只有sum[cnt[col]+1]发生了变化，因为大于等于cnt[col]的颜色数量没有变，而大于等于cnt[col]+1的颜色数量却增加了一个。所以我们只需将sum[cnt[col]+1]++,然后将cnt[col]本身++即可。类似地，当我们准备将cnt[col]减一时，只有sum[cnt[col]]发生了变化，sum[cnt[col]-1]及其他的sum值均没有改变。时间复杂度\(O(n\sqrt n)\).
三、代码：
60分做法：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define FILEIN(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define FILEOUT(s) freopen(s".out","w",stdout)
#define mem(s,v) memset(s,v,sizeof(s))
using namespace std;
inline LL read(void){
LL x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return f*x;
}
const int maxn=5005;
int n,m;
int col[maxn],b[maxn],TOT;
int head[maxn],tot;
int cnt[maxn][maxn];
struct Edge{
int y,nxt;
Edge(){}
Edge(int _y,int _nxt):y(_y),nxt(_nxt){}
}e[maxn<<1];
struct Query{
int v,k,ans;
}q[100005];
vector<int>query[maxn];
inline void connect(int x,int y){
e[++tot]=Edge(y,head[x]);
head[x]=tot;
}
void dfs(int x,int fa){
for(register int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].y;
if(y==fa)continue;
dfs(y,x);
for(register int j=1;j<=TOT;++j){
cnt[x][j]+=cnt[y][j];
}
}
cnt[x][col[x]]++;
for(register int i=0;i<(int)query[x].size();++i){
int cur=query[x][i];
for(register int col=1;col<=TOT;++col){
if(cnt[x][col]>=q[cur].k)q[cur].ans++;
}
}
}
int main(){
// FILEIN("count");FILEOUT("count");
n=read();m=read();
for(register int i=1;i<=n;++i){
col[i]=read();
b[++TOT]=col[i];
}
sort(b+1,b+TOT+1);
TOT=unique(b+1,b+TOT+1)-b-1;
for(register int i=1;i<=n;++i){
col[i]=lower_bound(b+1,b+TOT+1,col[i])-b;
}
for(register int i=1;i<n;++i){
int x=read(),y=read();
connect(x,y);connect(y,x);
}
for(register int i=1;i<=m;++i){
q[i].v=read();q[i].k=read();q[i].ans=0;
query[q[i].v].push_back(i);
}
dfs(1,0);
for(register int i=1;i<=m;++i){
printf("%d\n",q[i].ans);
}
return 0;
}
满分做法：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
#define FILEIN(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define FILEOUT(s) freopen(s".out","w",stdout)
#define mem(s,v) memset(s,v,sizeof(s))
using namespace std;
inline LL read(void){
LL x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return f*x;
}
const int maxn=100005;
int n,m;
int head[maxn],tot,block;
int col[maxn],siz[maxn],dfn[maxn],Cnt,pos[maxn];
int sum[maxn],cnt[maxn];
struct Edge{
int y,nxt;
Edge(){}
Edge(int _y,int _nxt):y(_y),nxt(_nxt){}
}e[maxn<<1];
struct Query{
int l,r,k,ans,id;
}q[maxn];
inline bool cmp1(Query a,Query b){
if(a.l/block!=b.l/block)return a.l/block<b.l/block;
return a.r<b.r;
}
inline bool cmp2(Query a,Query b){
return a.id<b.id;
}
inline void connect(int x,int y){
e[++tot]=Edge(y,head[x]);
head[x]=tot;
}
void dfs(int x,int fa){
dfn[++Cnt]=x;
pos[x]=Cnt;
siz[x]=1;
for(register int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].y;
if(y==fa)continue;
dfs(y,x);
siz[x]+=siz[y];
}
}
inline void del(int x){
--sum[cnt[col[dfn[x]]]--];
}
inline void add(int x){
++sum[++cnt[col[dfn[x]]]];
}
int main(){
n=read();m=read();
block=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;++i){
col[i]=read();
}
for(register int i=1;i<n;++i){
int x=read(),y=read();
connect(x,y);connect(y,x);
}
dfs(1,0);
for(register int i=1;i<=m;++i){
q[i].id=i;
int v=read();
q[i].k=read();
q[i].l=pos[v];
q[i].r=q[i].l+siz[v]-1;
q[i].ans=0;
}
sort(q+1,q+m+1,cmp1);
int l=1,r=0;
for(register int i=1;i<=m;++i){
if(r<q[i].r)while(r!=q[i].r)add(++r);
if(r>q[i].r)while(r!=q[i].r)del(r--);
if(l<q[i].l)while(l!=q[i].l)del(l++);
if(l>q[i].l)while(l!=q[i].l)add(--l);
q[i].ans=sum[q[i].k];
}
sort(q+1,q+m+1,cmp2);
for(register int i=1;i<=m;++i){
printf("%d\n",q[i].ans);
}
return 0;
}
