洛谷 P2966 [USACO09DEC]牛收费路径Cow Toll Paths 题解

一、题目：

洛谷原题

二、思路：

此题可加深对Floyd的理解。

首先我们应该知道，Floyd中G[i][j]实际上是一个滚动数组，真正的DP数组是G[k][i][j]，其中k是阶段.G[k][i][j]表示只经过\(1 \sim k\)这些节点，i到j的最短距离。

那么如果我们还原这种DP状态，按照k的点权从小到大的顺序转移，那么我们询问的时候就只需要从1到n枚举最大点，用该点的点权加上i到j的最短路更新答案即可。

还有一个细节，注意到G[i][j]保存的最短路不经过i和j本身，所以更新答案时注意用i的点权、j的点权与枚举的最大点的点权取max再加上最短路。

算法博大精深，切不可一知半解，如果不知道Floyd的本质，那这个题也就做不出来了。（这句话是留给我的。）

三、代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define LL long long
#define FILEIN(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define FILEOUT(s) freopen(s".out","w",stdout)
#define mem(s,v) memset(s,v,sizeof(s))

using namespace std;
inline LL read(void){
	LL x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*x;
}

const int maxn=255;

int n,m,q;
int G[maxn][maxn][maxn];
int ref[maxn];

struct Weight{
    int id,w;
    inline friend bool operator <(Weight x,Weight y){
        return x.w<y.w;
    }
}a[maxn];

int main(){
    mem(G,0x3f);
    n=read();m=read();q=read();
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        a[i].id=i;
        a[i].w=read();
        G[i][i][0]=0;
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        ref[a[i].id]=i;
    }
    for(register int i=1;i<=m;++i){
        int s=ref[read()],t=ref[read()],l=read();
        G[t][s][0]=G[s][t][0]=min(G[s][t][0],l);
    }
    for(register int k=1;k<=n;++k){
        for(register int i=1;i<=n;++i){
            for(register int j=1;j<=n;++j){
                G[i][j][k]=min(G[i][j][k],G[i][k][k-1]+G[k][j][k-1]);
                G[i][j][k]=min(G[i][j][k],G[i][j][k-1]);
            }
        }
    }
    for(register int step=1;step<=q;++step){
        int s=ref[read()],t=ref[read()];
        int minn=0x3f3f3f3f;
        for(register int i=1;i<=n;++i){
            minn=min(minn,G[s][t][i]+max(max(a[s].w,a[t].w),a[i].w));
        }
        printf("%d\n",minn);
    }
	return 0;
}