【转】洛谷 P3722 [AH2017/HNOI2017]影魔 题解

—— chino在我身下受

感觉还是挺有思维难度的一道题。蒟蒻想了不短时间才从暴力 $O(n^3)$ 优化到 $O(nlogn)$

纯暴力

$O(n^3)$ 暴力枚举区间内的点对，暴力扫描区间最大值。

稍微好点的暴力

最大值可以用线段树维护，优化到 $O(n^2logn)$ 。

（其实 $st$ 表能达到 $O(n^2)$ ，不过蒟蒻早忘了咋写了。。。总之最大值可以用数据结构优化)

（重点！）高端的优化

似乎到上面就不是很好想了。瓶颈就在于枚举点对的 $n^2$ 。可不可以少枚举点东西？

一个点对 $(i,j)$ 的贡献与三个值有关： $a[i],a[j],max(a[k])(i<k<j)$

不枚举 $i,j$ ，那就枚举中间的 $a[k]$ 。这里引入两个值：定义 $ll[i]$ 为从点 $i$ 向左走，直到遇到第一个大于它的数的位置（没有则为0）；同理， $rr[i]$ 就是向右走（没有则为n+1)。

也就是说，点 $i$ 是区间 $[ll[i]+1,rr[i]-1]$ 的最大值，且满足这个区间长度最小。

这样，枚举这个点（记为 $i$ )的时候：（区间记为 $[L,R]$ ）

• 如果 $ll[i]$ 与 $rr[i]$ 都在区间中，就会有一点对 $(ll[i],rr[i])$ 满足条件 $1$ 。
• 如果 $ll[i]$ 在区间中，那么每个点对 $(ll[i],k)(i<k<min(rr[i],R))$ 满足条件 $2$ 。（因为 $a[k]<a[i]$ ， $a[i]<a[ll[i]]$ ， $a[i]$ 为区间 $[ll[i]+1,k-1]$ 的最大值。注意不能走出去所以取min）
• 如果 $rr[i]$ 在区间中，那么每个点对 $(k,rr[i])(max(ll[i],L)<k<i)$ 满足条件 $2$ 。（原因同上）

这样就能得到 $O(n^2)$ 的做法。

顶级的优化

前面铺垫这么多，终于轮到正解出场了！

根据上面，我们需要一种方法，能快速得知：

• 每个 $ll[i]$ 在区间内的数的 $min(rr[i],R)-i$
• 每个 $rr[i]$ 在区间内的数的 $i-max(ll[i],L)$
• $ll[i]$ ， $rr[i]$ 都在区间内数的个数。

虽然有点麻烦，不过本题只有询问，是不是可以离线下来搞一搞呢？

先处理第一种。从右往左扫描数列，遇到某个数的 $ll[i]$ 再把这个数产生的贡献用某种数据结构维护起来，遇到某个询问的左端点就直接查询，这样保证了只有 $ll[i]$ 在区间内的数才会产生贡献。

具体来说：用线段树维护。遇到 $ll[i]$ 就把 $[i+1,rr[i]-1]$ （注意不能取两端）加 $1$ ，遇到询问左端点就查询 $[L,R]$ 的和。仔细想想就会发现，这样也会在查询时相当于取了 $min(rr[i],R)$ 。

第二种倒过来扫就好了。

第三种正着扫倒着扫皆可。以倒着扫为例：遇到 $ll[i]$ 把 $[rr[i],n]$ 加 $1$ （意为询问右端点落在 $[rr[i],n]$ 都会覆盖到 $rr[i]$ ，就有 1 贡献），这样查询时单点查 $R$ 即可。

时间复杂度： $O(nlogn)$ （常数有点大最慢 $1100ms+$ 。。。）

细节：1.关于预处理 $ll$ 、 $rr$ ：蒟蒻好像想复杂了，没有什么好方法，只能记录下位置，按权值排序后造棵平衡树倒着扫数列，插入每个点的位置， $ll$ 、 $rr$ 分别查前驱后继。。。

2.统计的答案要开long long！

$update:$

3.有一点忘了说了：对于情况1，满足 $i+1=j$ 同样会有贡献，而该方法统计不上，所以输出时直接加上就好。

上代码：

#define Kafuu signed
#define Chino main
#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <vector>
#define maxn 200005

#define inf 0x3f3f3f
using namespace std;
inline int read(){

int x=0,y=0;

char ch=getchar();

while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch'-')y=1;ch=getchar();}

while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();

return y?-x:x;

}

template<typename T>

inline T read(){

T x=0;

int y=0;

char ch=getchar();

while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch'-')y=1;ch=getchar();}

while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();

return y?-x:x;

}//快读

inline int ran(){

static int seed=45562;

return seed=seed48271LL%2147483647;

}//一个优化常数的随机数函数

int a[maxn],pos[maxn],ll[maxn],rr[maxn],n;

vector<int>lq[maxn],rq[maxn],li[maxn],ri[maxn];

//分别用来存询问左端点、右端点和ll、rr的位置情况

//vector可以用链式前向星代替，常数小。不过我懒了。。。

struct Question{

int l,r;

long long ans;

}q[maxn];

struct Treap{

#define ls(x) ls[x]

#define rs(x) rs[x]

int dat[maxn],ls[maxn],rs[maxn],ra[maxn],root,cnt;

void right(int &node){

int rec=ls(node);

ls(node)=rs(rec);

rs(rec)=node;

node=rec;

}

void left(int &node){

int rec=rs(node);

rs(node)=ls(rec);

ls(rec)=node;

node=rec;

}

void insert(int &node,int d){

if(！node){

node=++cnt;

dat[node]=d;

ra[node]=ran();

return;

}

if(dat[node]<d){

insert(rs(node),d);

if(ra[rs(node)]>ra[node])left(node);

}

else {

insert(ls(node),d);

if(ra[ls(node)]>ra[node])right(node);

}

}

int getpre(int d){

int ans=0,node=root;

while(node){

if(dat[node]<d)ans=max(ans,dat[node]),node=rs(node);

else node=ls(node);

}

return ans;

}

int getnex(int d){

int ans=n+1,node=root;

while(node){

if(dat[node]<d)node=rs(node);

else ans=min(ans,dat[node]),node=ls(node);

}

return ans;

}

}tr;//平衡树

#undef ls

#undef rs

#define ls(x) (x<<1)

#define rs(x) (x<<1|1)

struct Segment_Tree{

int dat[maxn<<2],tag[maxn<<2];

inline void update(int node){

dat[node]=dat[ls(node)]+dat[rs(node)];

}

inline void datadown(int l,int r,int node,int d){

dat[node]+=(r-l+1)d;

tag[node]+=d;

}

inline void pushdown(int l,int r,int node){

int mid=l+r>>1;

datadown(l,mid,ls(node),tag[node]);

datadown(mid+1,r,rs(node),tag[node]);

tag[node]=0;

}

void add(int L,int R,int l,int r,int node){

if(L<=l&&R>=r){

dat[node]+=r-l+1;

++tag[node];

return;

}

if(tag[node])pushdown(l,r,node);

int mid=l+r>>1;

if(L<=mid)add(L,R,l,mid,ls(node));

if(R>mid)add(L,R,mid+1,r,rs(node));

update(node);

}

long long ask(int L,int R,int l,int r,int node){

if(L<=l&&R>=r)return (long long)dat[node];

if(tag[node])pushdown(l,r,node);

int mid=l+r>>1;

long long ans=0;

if(L<=mid)ans=ask(L,R,l,mid,ls(node));

if(R>mid)ans+=ask(L,R,mid+1,r,rs(node));

return ans;

}

}st1,st2,st3;//空间够大开三棵线段树QwQ

Kafuu Chino(){

n=read();

int m=read();

long long p1=read<long long>(),p2=read<long long>();

for(register int i=1;i<=n;++i){

a[i]=read();

pos[a[i]]=i;

}

sort(a+1,a+1+n);

for(register int i=n;i;--i){

int L=tr.getpre(pos[a[i]]),R=tr.getnex(pos[a[i]]);

ll[pos[a[i]]]=L;

rr[pos[a[i]]]=R;

if(L!=-inf)li[L].push_back(pos[a[i]]);

if(R!=inf)ri[R].push_back(pos[a[i]]);

tr.insert(tr.root,pos[a[i]]);

}

for(register int i=1;i<=m;++i)

q[i].l=read(),q[i].r=read(),lq[q[i].l].push_back(i),rq[q[i].r].push_back(i);

for(register int i=n;i;--i){

for(register int j=0;j<li[i].size();++j){

if(li[i][j]+1<rr[li[i][j]])st1.add(li[i][j]+1,rr[li[i][j]]-1,0,n+1,1);

st3.add(rr[li[i][j]],n+1,0,n+1,1);

}

for(register int j=0;j<lq[i].size();++j)

q[lq[i][j]].ans+=st1.ask(i,q[lq[i][j]].r,0,n+1,1)p2+st3.ask(q[lq[i][j]].r,q[lq[i][j]].r,0,n+1,1)p1;

}

for(register int i=1;i<=n;++i){

for(register int j=0;j<ri[i].size();++j)

if(ll[ri[i][j]]+1<ri[i][j])st2.add(ll[ri[i][j]]+1,ri[i][j]-1,0,n+1,1);

for(register int j=0;j<rq[i].size();++j)

q[rq[i][j]].ans+=st2.ask(q[rq[i][j]].l,i,0,n+1,1)p2;

}

for(register int i=1;i<=m;++i)

printf("%d\n",q[i].ans+(long long)(q[i].r-q[i].l)p1);

}

（博主）还留个问题：为什么线段树上的操作都必须在0到n+1上进行？希望有人能回答，谢谢。