摘要：
方向导数的计算公式 方向导数 \(D_\mathbf{u}f(\mathbf{x})\) 衡量了函数 \(f\) 在点 \(\mathbf{x}\) 处沿单位向量 \(\mathbf{u}\) 方向的变化率。要证明 \(D_\mathbf{u}f(\mathbf{x}) = \nabla f(\ma 阅读全文
posted @ 2025-09-08 11:19
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摘要：
仿射函数的定义 仿射函数是数学中的一个基本概念，是线性函数的一种推广。如果一个函数可以表示为一个线性函数和一个常向量的和，则这个函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 被称为仿射函数（affine function），。 用数学公式表达就是： \(f(x) = 阅读全文
posted @ 2025-09-07 22:45
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摘要：
一个几何对象的凸性是其最基本的性质之一，它在数学、物理、经济学等多个领域都有重要的应用。要理解凸集，我们可以从它的定义开始。 凸集的定义 凸集 (Convex Set) 的定义 简单来说，一个集合 \(S\) 是凸集，如果对于集合 \(S\) 中的任意两点 \(x\) 和 \(y\)，连接这两点的线 阅读全文
posted @ 2025-09-07 21:59
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摘要：
在 LaTeX 公式中处理英文单词时，直接写入和使用 \text{} 命令有本质区别，这主要涉及到字体样式、间距处理、格式继承以及使用场景。下面是一个对比表格帮你快速了解： 特性 直接写入单词 (数学模式) 使用 \text{} 命令 字体样式 自动变为斜体 (Italic) 保持外部文本环境的正常 阅读全文
posted @ 2025-09-07 15:01
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1. 背景：优化问题 在机器学习和统计建模中，我们常常需要找到一个模型的参数，使得 损失函数 (Loss Function) 最小。 比如线性回归的损失函数（均方误差 MSE）： \[J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) 阅读全文
posted @ 2025-09-06 22:47
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梯度下降法（Gradient Descent）是一种非常重要的优化算法，常用于机器学习中，用来寻找函数的最小值。它的核心思想很简单：就像一个人下山一样，每一步都朝着当前位置最陡峭的方向（即梯度的反方向）走，最终就能走到山谷的最低点。 梯度（Gradient）是什么？ 要理解梯度下降，首先要明白“梯度 阅读全文
posted @ 2025-09-06 22:43
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数学公式 \(\min_{w} || X w - y||_2^2\) 也是表达最小二乘法，但它使用了矩阵和向量的形式，这在处理多维数据和编程时更常见、更简洁。 公式解释 这个公式的核心思想与更常见的最小二乘表示公式 \(\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2\) 完全一 阅读全文
posted @ 2025-09-06 18:56
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摘要：
公式 \(\hat{y}_i = w_0 + w_1x_{i1} + w_2x_{i2} + \dots + w_px_{ip}\) 是线性回归模型的核心数学表达式。 解释如下： 核心概念 这个公式描述了如何通过一系列特征（\(x\)）来预测一个目标值（$ \hat{y} $）。它假设目标值是特征的 阅读全文
posted @ 2025-09-06 17:53
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Residual 的音标是： 英式发音：/rɪˈzɪd.ju.əl/ 美式发音：/rɪˈzɪdʒ.u.əl/ 或 /rɪˈzɪd.ju.əl/ 本义 Residual 这个词的本义是剩余的、残留的或剩下的。 它源于拉丁语 residuum，意为“剩下的东西”。这个词根 sidere 意为“坐下”，因 阅读全文
posted @ 2025-09-06 17:10
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Coefficients 的音标是： 英式发音：/ˌkəʊ.ɪˈfɪʃ.ənts/ 美式发音：/ˌkoʊ.əˈfɪʃ.ənts/ 本义 Coefficient 这个词的本义是系数或协同因子。 它由两部分组成： co-：这是一个前缀，意思是“共同、一起”。 efficient：这个词根在这里不是“有效 阅读全文
posted @ 2025-09-06 17:08
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