微积分基本定理第二部分（积分）的证明

证明并解释微积分基本定理（第二部分）

这个定理建立了不定积分（原函数）和定积分之间的联系。

微积分基本定理（第二部分）

定理陈述：
如果 ( f(x) ) 是在区间 ([a, b]) 上连续的函数，并且 ( F(x) ) 是 ( f(x) ) 的一个原函数（即 ( F'(x) = f(x) )），那么：
[
\int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a)
]

证明

为了证明这个定理，我们需要利用一些基本的微积分概念和定理。

1. 定义定积分

定积分 (\int_{a}^{b} f(x) , dx) 可以通过黎曼和来定义。具体来说，我们将区间 ([a, b]) 分成 ( n ) 个小区间，每个小区间的宽度为 (\Delta x = \frac{b - a}{n})。在每个小区间 ([x_{i-1}, x_i]) 上选择一个点 ( x_i^* )，则黎曼和为：
[
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x
]

当 ( n \to \infty ) 时，黎曼和 ( S_n ) 的极限就是定积分：
[
\int_{a}^{b} f(x) , dx = \lim_{n \to \infty} S_n
]

2. 构造辅助函数

定义一个辅助函数 ( G(x) ) 为：
[
G(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt
]

根据定积分的定义，( G(x) ) 表示从 ( a ) 到 ( x ) 的定积分。

3. 证明 ( G(x) ) 是 ( f(x) ) 的原函数

我们需要证明 ( G'(x) = f(x) )。根据导数的定义：
[
G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{G(x + h) - G(x)}{h}
]

代入 ( G(x) ) 的定义：
[
G(x + h) = \int_{a}^{x+h} f(t) , dt
]
[
G(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt
]

因此：
[
G(x + h) - G(x) = \int_{a}^{x+h} f(t) , dt - \int_{a}^{x} f(t) , dt = \int_{x}^{x+h} f(t) , dt
]

根据均值定理（Mean Value Theorem for Integrals），存在一个点 ( c ) 在 ([x, x+h]) 上，使得：
[
\int_{x}^{x+h} f(t) , dt = f(c) \cdot h
]

因此：
[
G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c) \cdot h}{h} = \lim_{h \to 0} f(c)
]

因为 ( c ) 在 ([x, x+h]) 上，当 ( h \to 0 ) 时，( c \to x )。由于 ( f(x) ) 在 ([a, b]) 上连续，所以：
[
G'(x) = f(x)
]

这证明了 ( G(x) ) 是 ( f(x) ) 的一个原函数。

4. 应用原函数的性质

假设 ( F(x) ) 也是 ( f(x) ) 的一个原函数，即 ( F'(x) = f(x) )。根据原函数的性质，我们知道 ( G(x) ) 和 ( F(x) ) 之间相差一个常数 ( C )：
[
G(x) = F(x) + C
]

特别地，当 ( x = a ) 时：
[
G(a) = \int_{a}^{a} f(t) , dt = 0
]
[
F(a) + C = 0 \implies C = -F(a)
]

因此：
[
G(x) = F(x) - F(a)
]

特别地，当 ( x = b ) 时：
[
G(b) = \int_{a}^{b} f(t) , dt = F(b) - F(a)
]

这正是微积分基本定理（第二部分）的结论：
[
\int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a)
]

解释

1. 原函数的概念：原函数 ( F(x) ) 是一个函数，其导数等于被积函数 ( f(x) )。即 ( F'(x) = f(x) )。
2. 定积分的几何意义：定积分 (\int_{a}^{b} f(x) , dx) 表示函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上的曲线下方的面积。
3. 牛顿-莱布尼茨公式的应用：通过找到被积函数的原函数 ( F(x) )，计算 ( F(b) - F(a) ) 即可得到定积分的值。这大大简化了定积分的计算过程。