一维热传导方程的回焊炉子炉温模型

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1. 有限差分方法

参考

1.1 一阶微分

由泰勒公式:

1. 对上式变形即可以得到一阶微分的向前差分公式：

2. 将上式中的h用-h替代，则可以得到一阶微分的向后差分公式：

3. 联立以上1、2，可以得到一阶微分的中心差分公式：

1.2 二阶微分

利用泰勒公式将原式多展开几项。

按照同样的思路进行求解即可，可得二阶微分的中心差分公式：

1.3 论文中有限差分法的运用：

作者首先得到——一维介质热传导方程组，如下：

再由热传导方程的差分形式：

联立以上两式,解得：

2. 分层序列法

多目标问题求解常用方法为：线性加权法，分层序列法。
线性加权法，会涉及到不同目标对目标函数的权重值的问题。例如MTSP问题的总路程与均衡度：

分层序列法：是指将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
分层序列法的核心思路即为排序。优先级高的目标求解所得的集合会成为下一个目标求解的约束条件。

2.1 简单分层序列法的局限性：

若上层最优解是唯一的，则之后所有的解也是唯一的。

2.2 传统分层序列法的改进方案：

求解较上层优化问题时给予一定的宽容度。即使只有唯一解，也在其相邻的区间内取舍一定的范围，成为下一层优化问题的约束条件。

3. 核心要点

• 偏微分方程的求解（PDE方程：包含未知函数的偏导数 (或偏微分)的方程）：有限差分方法
• 时间步长，空间步长，连续平面区域的离散化
• 非线性约束条件下的目标规划问题
  • 单目标多变量问题：遗传算法
  • 多目标多变量问题：基于分层序列的思想，提出接力进化的遗传算法

3.1 算法流程图

涉及启发式算法，建议绘制算法流程图：

3.2 表格中展示

并将不同次数的求解结果放在一张二维表格中展示，并选取最优解。（启发式算法需要多次求解，并选取最优值）！！！

3.3 灵敏度分析

对与结果相关的重要参数需进行灵敏度分析