HDU4666 Hyperspace(数学推理+数据结构)

                     

问题领悟：

1）求两点的曼哈顿距离

2）求n个点中最大的曼哈顿距离（朴素算法：O(n^2) ）  [在不考虑删除操作的情况下]

3）加入删除操作，如果前面已求得的最大距离若有一个被删去，则需要重新计算最大曼哈顿距离，最坏情况时间复杂度可达O(n^3) ;远远超出。

问题思考：

1）首先能不能找到问题的一种朴素算法，使复杂度为O(n^2)的，在10s时间下可以试试；

2）期待这类O(n^2)问题的更高效的算法！

   A.思考方向1：可能要用数据结构优化到O（nlg(n)）；

3）不存在，那就考虑问题本身具有的特殊性，或挖掘出问题本身的性质和规律：

   曼哈顿距离：|x1-x2| + |y1-y2|

   求最大值。

   怎么考察此式的性质？

   

   将式拆分，重组，得：

   

   我们可以发现一个规律点：即不同点相对应的维数必然符号相反，如同一个式中，xi必然对应着-yi,由此将后面式子负号提出，用01二进制每个点内部各维数间的正负号，得到对应两个相同符号的式子相减的表达式，如对于二维（xi,xj）,(yi,yj) ，用二维数组 A[N][2^k] 保存N*(2^k)个数据可分解如下：

|xi-yi| + |xj-yj|=

max{

   A[1][0]-A[2][0]

   A[1][1]-A[2][1]

   A[1][2]-A[2][2]

   A[1][3]-A[2][3]

}

所以对于2^k中每一个数（即表示单个点内个位数间的运算符号），运算后保存在方便查找最值且下标为K的数据结构中（如堆，优先队列，multiset集合等），遍历2^k种情况，最大最小值，相减找出最大差值即可：

 

源程序：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set> 
using namespace std;
#define maxn 60005
#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)

multiset<int> mset[1<<5];
int arr[maxn][6];

int main()
{	
	int q,k,i,j,l,op,ith,sum,ma;
	while(~scanf("%d%d",&q,&k))
	{
		for(i=0;i<(1<<k);i++)
		    mset[i].clear();          //注意容器的初始化清空！ 
		
		for(i=1;i<=q;i++)
		{
			scanf("%d",&op);
			if(!op)
			{
				for(j=0;j<k;j++)
					scanf("%d",&arr[i][j]);
				for(j=0;j<(1<<k);j++)
				{
					sum=0;
					for(l=0;l<k;l++)
					{
						if(j&(1<<l))
							sum+=arr[i][l];
						else
						    sum-=arr[i][l];
					}
					mset[j].insert(sum);	
				}
			}
			else
			{
				scanf("%d",&ith);
				for(j=0;j<(1<<k);j++)
				{
					sum=0;
					for(l=0;l<k;l++)
					{
						if(j&(1<<l))
							sum+=arr[ith][l];
						else
						    sum-=arr[ith][l];
					}
					multiset<int>::iterator it;
					it=mset[j].find(sum);
					mset[j].erase(it);	
				}
			}
			
			ma=0;
			multiset<int>::iterator it1,it2;
			for(j=0;j<(1<<k);j++)
			{
				it1=mset[j].begin();
				it2=mset[j].end();
				it2--;  
				ma=Max(ma,*it2-*it1);
			}
			
			printf("%d\n",ma);
		}
	}
	return 0;
}