傅里叶变换(二)

关于傅里叶变换在一维的情况已经推到过了，可以看我以前的随笔：傅里叶变换(一)

现在来看看二维的情况。

一样的道理只不过这次假设的是一个二维的图像，由无数个不同初相，不同振幅，不同频率，不同传播方向的平面波叠加而成，跟一维不同的是，平面波有传播方向。

具体平面波是什么样的，就是海浪啊，上下做着正弦震动前进的海浪。

表示成公式就是：$$f(x,y)=\sum_{m=0}^{+\infty }(\sum_{k=0}^{+\infty }(A_{k,m}\cos (ku_{0}x + mv_{0}y+\varphi _{k,m})))$$

其中向量$(ku_{0},mv_{0})$构成平面波的传播方向和频率的大小，$\varphi _{k,m}$还是代表平面波的初相，$A_{k,m}$还是代表平面波的振幅大小

由上篇随笔，最后化成：

$$f(x,y)=\sum_{m=-\infty }^{+\infty }\sum_{k=-\infty }^{+\infty }(\frac{a_{k,m}-ib_{k,m}}{2}e^{i(ku_{0}x + mv_{0}y)})$$

$a_{k,m}=A_{k,m}\cos (\varphi _{k,m})$，$b_{k,m}=-A_{k,m}\sin (\varphi _{k,m})$

然后依然根据三角函数的正交性，对$f(x,y)$乘以$\cos ku_{0}x$，在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$对x积分，此时把y看成常数，并用三角函数两角和公式展开，化掉x，然后再乘以$\cos mv_{0}y$，在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$对y积分，化掉y

这样就得到$a_{k,m}$，用同样的方法乘以$\sin ku_{0}x$，展开，积分，乘以$\sin mv_{0}y$，展开，积分，得到$b_{k,m}$，这样平面波的振幅和初相也就得到了。

最后将周期T趋于无穷大，$u_{0}，v_{0}$都趋于无穷小，求和公式就变成了积分公式，x，y分别积分看成是二重积分。

$$F(u,v )=\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i(ux + vy)}dxdy$$

$$f(x,y )=\frac{1}{4\pi ^{2}}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }F(u,v )e^{i(ux + vy)}dudv$$

这就是最后公式的由来，不知道是不是说清楚了，反正我是明白了。

从这里再思考更高维的傅里叶变换，跟二维已经没有本质的变化了，这不过是平面方程变成了超平面方程，结果多了几重积分而已。

特殊的，看三维的立体波，可以想象成沿着法线方向延申的平面，并且平面上各处的温度都一样，前后成正弦形分布，形成柱形，柱形截面是无限大的，但是温度是有限的，这个就是振幅。这个温度是有正负的，并且正负可以抵消的，且可以正负无限大的，跟物理上的温度不太一样。
这样不同方向的柱子，叠加成一个三维的温度标量场，这个就是图像。当然也是做三次积分消掉三个未知数

至于更高维的，理论上也是这样，但是我这种三维的生物想象不出具体的样子。