傅里叶变换(二)
关于傅里叶变换在一维的情况已经推到过了,可以看我以前的随笔:傅里叶变换(一)
现在来看看二维的情况。
一样的道理只不过这次假设的是一个二维的图像,由无数个不同初相,不同振幅,不同频率,不同传播方向的平面波叠加而成,跟一维不同的是,平面波有传播方向。
具体平面波是什么样的,就是海浪啊,上下做着正弦震动前进的海浪。
表示成公式就是:$$f(x,y)=\sum_{m=0}^{+\infty }(\sum_{k=0}^{+\infty }(A_{k,m}\cos (ku_{0}x + mv_{0}y+\varphi _{k,m})))$$
其中向量$(ku_{0},mv_{0})$构成平面波的传播方向和频率的大小,$\varphi _{k,m}$还是代表平面波的初相,$A_{k,m}$还是代表平面波的振幅大小
由上篇随笔,最后化成:
$$f(x,y)=\sum_{m=-\infty }^{+\infty }\sum_{k=-\infty }^{+\infty }(\frac{a_{k,m}-ib_{k,m}}{2}e^{i(ku_{0}x + mv_{0}y)})$$
$a_{k,m}=A_{k,m}\cos (\varphi _{k,m})$,$b_{k,m}=-A_{k,m}\sin (\varphi _{k,m})$
然后依然根据三角函数的正交性,对$f(x,y)$乘以$\cos ku_{0}x$,在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$对x积分,此时把y看成常数,并用三角函数两角和公式展开,化掉x,然后再乘以$\cos mv_{0}y$,在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$对y积分,化掉y
这样就得到$a_{k,m}$,用同样的方法乘以$\sin ku_{0}x$,展开,积分,乘以$\sin mv_{0}y$,展开,积分,得到$b_{k,m}$,这样平面波的振幅和初相也就得到了。
最后将周期T趋于无穷大,$u_{0},v_{0}$都趋于无穷小,求和公式就变成了积分公式,x,y分别积分看成是二重积分。
$$F(u,v )=\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i(ux + vy)}dxdy$$
$$f(x,y )=\frac{1}{4\pi ^{2}}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }F(u,v )e^{i(ux + vy)}dudv$$
这就是最后公式的由来,不知道是不是说清楚了,反正我是明白了。
从这里再思考更高维的傅里叶变换,跟二维已经没有本质的变化了,这不过是平面方程变成了超平面方程,结果多了几重积分而已。
特殊的,看三维的立体波,可以想象成沿着法线方向延申的平面,并且平面上各处的温度都一样,前后成正弦形分布,形成柱形,柱形截面是无限大的,但是温度是有限的,这个就是振幅。这个温度是有正负的,并且正负可以抵消的,且可以正负无限大的,跟物理上的温度不太一样。
这样不同方向的柱子,叠加成一个三维的温度标量场,这个就是图像。当然也是做三次积分消掉三个未知数
至于更高维的,理论上也是这样,但是我这种三维的生物想象不出具体的样子。