关于laplace算符的理解，以及应用

老规矩直接说结论，这是我的理解，如果不对请指正：

laplace算符算出的是梯度的散度，而梯度的散度代表该点相对周围的凹凸程度，大于0代表凹，小于0代表凸。

在三维空间中，梯度就是向量：( $\frac{\partial u}{\partial x} , \frac{\partial u}{\partial y} , \frac{\partial u}{\partial z}$ )

散度就是标量： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z}$ 

梯度的散度就是标量：$\triangle u = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial z^{2}}$

首先说下梯度，以爬山为例来说，将山上的某一点周围很小的区域看成是一个平面(我觉得曲面是由小平面拼接而成的)，在这个平面上沿着x方向走一小段，高度的变化跟这个小段长度有个比例a，这个比例不跟走过的长度有关，只跟倾斜程度有关，同样在与x不相关的(方向与其垂直的)y方向也走一小段，得到一个高度变化和走过长度的比b，这2个比都只是与倾斜程度有关，由于我们把这个面看成平面，可能是倾斜的，也可能是平的，是平的话，那这2个比例都是0，不是平的话那就是非0，那我问你，你说从这点出发往哪个方向倾斜的程度最高，那自然是用平行四边形法则来看，就是这2个向量的合成方向最倾斜了（你可以推导下，我只说结论，沿梯度方向的变化是$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，不沿梯度方向的变化是$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos \varphi $，其中的$\varphi$是前进方向与梯度方向的夹角）。那就是向量(a,b)的方向，而a,b分别是这点的偏导数，我们就将这个方向称为梯度方向，梯度是个向量，有大小也有方向，就用向量(a,b)表示。

再说散度，说到散度就要说通量，通量是指一个表面穿过的辐射的多少，表面有方向，辐射也有方向。如果是一个闭合的曲面，穿过这个曲面外表面的辐射量跟曲面面积的点积的积分就称为这个表面的通量，如果这个曲面无限小，通量除以面积，就可以反映这个点的辐射的强度，这个就是散度。用高斯公式就可以求出某点的散度。所以理解了意思，你就应该知道这里的"散"应该是散开，散发的意思，读四声，而不是三声。散度就是向周围散发射线的强度。

如果把某个空间的梯度看成一个场，那梯度的散度就是laplace算符表达的意思。

所以laplace算符应用到热动方程就反应了热在某点时间上的变化跟周围的温差成正比。$\frac{\partial u}{\partial t}=k\triangle u$

应用到波动方程就是，某点的波动在时间上跟周围的压力差成正比。$\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial u}{\partial t} \right )=\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}=k\triangle u$

还有数字图像处理里的laplace算子为什么是用来做边缘检测的，这下就明白了吧，它就是二维的laplace算子。

$\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & -4 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$

 再来说说复变函数相关的东西吧，复变函数研究的就是一维解析函数$f(z)=f(x+iy)=u+iv$，解析函数满足柯西黎曼条件：

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial y}$ 

而这也就是意味着

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$ 和 $\frac{\partial ^{2} v}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} v}{\partial y^{2}} = 0$

这就是说明解析函数是一个没有凹凸的图像，这也是为什么最大模定理成立的原因。

最大模定理：若函数f(z)在区域D内解析，又f(z)不是常数，则在D内|f(z)|没有最大值

无源无旋最浪在外，凹凸错落没法解析。