傅里叶变换(一)

在很久很久以前，伟大的法国数学家傅里叶大神，突然灵光一闪，想到一个周期函数是不是可以由不同振幅，不同频率，不同初相的三角函数叠加而成？

也就是

$f(t)=\sum_{k=0}^{+\infty }(A_{k}\cos (k\omega _{0}t+\varphi _{k}))$

这里的$\omega _{0}=\frac{2\pi }{T}$，作为最低的频率，对应的三角函数的周期整好横跨该函数一个周期的图像，然后其他的高频再在周期里精雕细琢，最后成为完整函数图像。

这样一个时间函数，就变成了一个无穷多个频率的数列，频率依次相差$\omega _{0}$ ，我们就可以看哪个频率振幅大，哪个频率振幅小。

将上面的公式展开一下，将$A_{k}$，$\varphi _{k}$去掉。

$f(t)=\sum_{k=0}^{+\infty }(a_{k}\cos k\omega _{0}t+b_{k}\sin k\omega _{0}t)$，---1

其中$a_{k}=A_{k}\cos \varphi _{k}$，$b_{k}=-A_{k}\sin \varphi _{k}$

对应的振幅$A_{k}=\sqrt{a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}$，对应的初相$\varphi _{k}=-\arctan \frac{b_{k} }{a_{k}}$

这样公式里的三角函数初相都变成0，振幅都是1，求出$a_{k}$，$b_{k}$，再变成原来的三角函数。

那怎样求$a_{k}$，$b_{k}$呢？

三角函数有个正交性：

$\int_{-\pi }^{\pi }\cos kx\cos lxdx=\begin{cases}
& 2\pi \text{ if } k=l=0 \\
& \pi \text{ if } k=l\neq 0 \\
& 0 \text{ if } k\neq l
\end{cases}$

$\int_{-\pi }^{\pi }\cos kx\sin lxdx=0$

$\int_{-\pi }^{\pi }\sin kx\sin lxdx=\begin{cases}
& 0 \text{ if } k=l=0 \\
& \pi \text{ if } k=l\neq 0 \\
& 0 \text{ if } k\neq l
\end{cases}$

直接在f(t)上乘一个频率的三角函数，再积分，其他的频率就滤掉了。

$a_{k}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T }{2}}^{\frac{T }{2}}f(t)\cos k\omega _{0}tdt$

$b_{k}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T }{2}}^{\frac{T }{2}}f(t)\sin k\omega _{0}tdt$

这里的$a_{k}$是被cos过滤出来的，所以它是cos系的，同理$b_{k}$是sin系的，所以俯角是$\arctan(-\frac{b_{k}}{a_{k}})$

一个频率分量既包含振幅还包含初相，很不方便，有什么办法将振幅和初相统一起来？用复数将振幅看成模，初相看成俯角！

这样一个时间信号就对应了一个复数数组

令$c_{k}=\frac{a_{k}-ib_{k}}{2}$，所以此时$c_{k}$的俯角 arg$c_{k}=-\arctan\frac{b_{k} }{a_{k}}$，就是对应频率三角函数的初相

公式1用欧拉公式去掉sin,cos欧拉公式得

$f(t)=\sum_{k=0}^{+\infty }(\frac{a_{k}-ib_{k}}{2}e^{ik\omega _{0}t}+\frac{a_{k}+ib_{k}}{2}e^{-ik\omega _{0}t})=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }(\frac{a_{k}-ib_{k}}{2}e^{ik\omega _{0}t})=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }(c_{k}e^{ik\omega _{0}t})$   ---2

这里由于$a_{k}$是关于k的偶函数，$b_{k}$是关于k的奇函数，所以k取负值，$a_{k}$不变，$b_{k}$将负号提出来。当k取0时，$a_{k}$是cos，不变，$b_{k}$是sin，等于0了

$c_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T }{2}}^{\frac{T }{2}}f(t)e^{-ik\omega _{0}t}dt$  ---3

将$c_{k}$代入公式2，得

$f(t)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty }^{+\infty }(\int_{-\frac{T }{2}}^{\frac{T }{2}}f(t)e^{-ik\omega _{0}t}dt)e^{ik\omega _{0}t}$  ---4

好，到这里周期函数得各个频率的大小和相位已经求出来了，我们只需要求公式3，得到$c_{k}$，实部是$\frac{a_{k}}{2}$，虚部是是$\frac{-b_{k}}{2}$，

然后就可以求出来对应频率的振幅和初相。

那非周期函数怎么求呢？非周期函数可以看成周期为$+\infty$的函数。

然后$\omega _{0}\rightarrow 0$，$\frac{1}{T}$就换成$\frac{d\omega }{2\pi }$，$k\omega _{0}$就变成$\omega $

然后公式4就可以将求和号改成积分号

$f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }(\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt)e^{i\omega t}d\omega$  ---5

对于连续的傅里叶变换：$c_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T }{2}}^{\frac{T }{2}}f(t)e^{-ik\omega _{0}t}dt=\frac{d\omega }{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

是一个带$d\omega $的微分，$c_{k}$变成了一个无穷小量，令$F(\omega )=\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

那$\frac{F(\omega )}{2\pi }$就是对应的频域的连续图像在$\omega $点的高度，一般去掉$\frac{1}{2\pi }$，而将它写在傅里叶逆变换里。

上面的讨论没有写级数收敛的条件。

对于二维或多维的傅里叶变换，可以看傅里叶变换(二)