[SCOI2012]奇怪的游戏
Description:
\(Blinker\)最近喜欢上一个奇怪的游戏。
这个游戏在一个 \(N \times M\) 的棋盘上玩，每个格子有一个数。每次\(Blinker\)会选择两个相邻的格子，并使这两个数都加上\(1\)。
现在\(Blinker\)想知道最少多少次能使棋盘上的数都变成同一个数，如果永远不能变成同一个数则输出\(-1\)。
Solution:
也算是网络流+二分答案的套路题吧
这个人讲得很好,转自 https://www.cnblogs.com/yousiki/p/6339532.html
不难看出，对棋盘进行黑白染色之后，每次相加都会使得相邻的一黑一白两个格子同时+1,。
先对所有黑白格子进行统计，处理出\(cnt0\),\(cnt1\)分别代表黑、白格子个数，处理出\(sum0\),\(sum1\)分别代表黑、白格子权值和。
分类讨论如下：
如果\(cnt0=cnt1\)
如果\(sum0\not =sum1\)，那么一定不存在合法解
如果\(sum0=sum1\)，设最终所有数字都变成\(ans\)，发现如果\(ans\)满足，则\(ans+1\)必定也满足(补充:因为此时n,m中必有一个偶数,可以随意给所有数+1)，即\(ans\)满足二分性质，因此可以二分答案，网络流判断是否可行。
如果\(cnt0\not =cnt1\)
依旧设最终数字为\(ans\)，则有\(cnt0\times ans-sum0=cnt1\times ans-sum1\)，化简得\(ans=\frac{sum0-sum1}{cnt0-cnt1}\)，只需要检查这个值是否合法即可。
网络流判断可行的方法：
从S向每个黑点连\(ans-Val_{i,j}\)的边，从每个白点向T连\(ans-Val_{i,j}\)的边，相邻的黑点向白点连\(+\infty\)的边，判断是否满流。
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mxn=1e5+5,inf=1e17;
ll c0,c1,s0,s1,n,m,cnt,ans,hd[mxn];
ll a[55][55],col[55][55];
ll dx[5]={0,0,1,-1},dy[5]={1,-1,0,0};
inline ll read() {
char c=getchar(); ll x=0,f=1;
while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
return x*f;
}
inline void chkmax(ll &x,ll y) {if(x<y) x=y;}
inline void chkmin(ll &x,ll y) {if(x>y) x=y;}
struct ed {
ll to,nxt,w;
}t[mxn<<1];
inline void add(ll u,ll v,ll w) {
t[++cnt]=(ed) {v,hd[u],w}; hd[u]=cnt;
t[++cnt]=(ed) {u,hd[v],0}; hd[v]=cnt;
}
ll S,T,cur[mxn],dep[mxn];
ll bfs() {
memset(dep,0,sizeof(dep)); dep[S]=1;
queue<ll > q; q.push(S);
for(ll i=S;i<=T;++i) cur[i]=hd[i];
while(!q.empty()) {
ll u=q.front(); q.pop();
for(ll i=hd[u];i!=-1;i=t[i].nxt) {
ll v=t[i].to;
if(!dep[v]&&t[i].w>0)
dep[v]=dep[u]+1,q.push(v);
}
}
return dep[T];
}
ll dfs(ll u,ll f) {
if(u==T) return f;
for(ll &i=cur[u];i!=-1;i=t[i].nxt) {
ll v=t[i].to;
if(t[i].w>0&&dep[v]==dep[u]+1) {
ll tp=dfs(v,min(f,t[i].w));
if(tp>0) {
t[i].w-=tp;
t[i^1].w+=tp;
return tp;
}
}
}
return 0;
}
void Dinic() {
while(bfs())
while(ll tp=dfs(S,inf))
ans+=tp;
}
ll get(ll x,ll y) {
return (x-1)*m+y;
}
ll check(ll x) {
memset(hd,-1,sizeof(hd));
cnt=-1; S=ans=0; T=n*m+1; ll tot=0;
for(ll i=1;i<=n;++i)
for(ll j=1;j<=m;++j)
if(col[i][j]) {
add(S,get(i,j),x-a[i][j]);
tot+=x-a[i][j];
for(ll k=0;k<4;++k) {
ll tx=i+dx[k],ty=j+dy[k];
if(tx<1||ty<1||tx>n||ty>m) continue ;
add(get(i,j),get(tx,ty),inf);
}
}
else add(get(i,j),T,x-a[i][j]);
Dinic(); return ans==tot;
}
int main()
{
ll T; T=read();
while(T--) {
c0=c1=s0=s1=0; ll mx=0;
n=read(); m=read();
for(ll i=1;i<=n;++i)
for(ll j=1;j<=m;++j)
a[i][j]=read(),col[i][j]=(i+j)&1,chkmax(mx,a[i][j]);
for(ll i=1;i<=n;++i)
for(ll j=1;j<=m;++j)
if(col[i][j]) s1+=a[i][j],++c1;
else s0+=a[i][j],++c0;
if(c0!=c1) {
ll x=(s0-s1)/(c0-c1);
if(x>mx&&check(x)) printf("%lld\n",x*c1-s1);
else puts("-1");
}
else {
if(s0!=s1) {
puts("-1");
continue ;
}
ll l=mx,r=inf;
while(l<=r) {
ll mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("%lld\n",1ll*l*c1-s1);
}
}
return 0;
}
