[SCOI2010]生成字符串

Description:

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

Hint:

\(n,m \le 10^6\)

Solution:

很妙的一道题

网格图上的组合数学

直接做发现不可做,考虑转化,借的图:

我们把初始状态设为原点,最终状态设为\((n+m,n-m)\)

选1代表向右上走,走选0代表向左上走

答案就是走到终点,且不经过\(y=-1\)这条直线的方案数(想一想,为什么?)

这不好求,转化求总方案减去不合法方案,求经过\(y=-1\)这条直线的方案数

然后不难发现,路径经过\(y=-1\)的方案就等于从\((0,-2)\)出发的方案

列个方程就知道要向下走m-1步,即方案为\(C(n+m,m-1)\)

所以答案就是\(C(n+m,m)-C(n+m,m-1)\)

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1 
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=2e6+5,mod=20100403;
int n,m,fac[mxn],ifac[mxn];
inline int read() {
    char c=getchar(); int x=0,f=1;
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    return x*f;
}
inline int chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
inline int chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}

int qpow(int a,int b) 
{
    int res=1,bs=a;
    while(b) {
        if(b&1) res=1ll*res*bs%mod;
        bs=1ll*bs*bs%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

inline ll C(int n,int m) {
    return 1ll*fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    fac[0]=ifac[0]=1; 
    for(int i=1;i<=n+m;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    ifac[n+m]=qpow(fac[n+m],mod-2);
    for(int i=n+m-1;i>=1;--i) ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    printf("%lld",(C(n+m,m)-C(n+m,m-1)+mod)%mod);
    return 0;
}