[HNOI2011]卡农

Description:

众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法，小余在听卡农音乐时灵感大发，发明了一种新的音乐谱写规则。他将声音分成 n 个音阶，并将音乐分成若干个片段。音乐的每个片段都是由 1 到 n 个音阶构成的和声，即从 n 个音阶中挑选若干个音阶同时演奏出来。为了强调与卡农的不同，他规定任意两个片段所包含的音阶集合都不同。同时为了保持音乐的规律性，他还规定在一段音乐中每个音阶被奏响的次数为偶数。现在的问题是：小余想知道包含 m 个片段的音乐一共有多少种。两段音乐 a 和 b 同种当且仅当将 a 的片段重新排列后可以得到 b。例如：假设 a

为{{1,2},{2,3}}，b 为{{3,2},{2,1}}，那么 a 与 b 就是同种音乐。由于种数很多，你只需要

输出答案模 100000007（质数）的结果。

Hint:

\(n \le 10^6\)

Solution:

毒瘤组合数学题

首先我们可以不考虑音乐顺序,最后答案除以m!即可

易知所有非空子集数量为\(2^n-1\)

设dp[i]为选了i段时的合法音乐种数

为了满足出现次数为偶数,我们可以这样考虑:

对于一种i-1段的音乐,第i段的集合一定由之前的奇数位唯一确定

即方案数为\(A_{2^n-1}^{i-1}\) (想一想,为什么?)

因为要考虑空集,所以就减去一个\(dp[i-1]\)

现在需要去重,我们钦定一个位置与i相同,于是需要减去方案数:

\[dp[i-2]*(i-1)*(2^n-1-(i-2)) \]

这就完了

\[dp[i]=A_{2^n-1}^i-dp[i-1]-dp[i-2]*(i-1)*(2^n-i+1) \]

其中 \(dp[0]=1,dp[1]=0\)

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1 
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mxn=1e6+5,mod=1e8+7;
ll n,m,tp,inv,a[mxn],dp[mxn];
inline ll read() {
    char c=getchar(); ll x=0,f=1;
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    return x*f;
}
inline ll chkmax(ll &x,ll y) {if(x<y) x=y;}
inline ll chkmin(ll &x,ll y) {if(x>y) x=y;}

ll qpow(ll a,ll b) 
{
    ll res=1,bs=a;
    while(b) {
        if(b&1) res=1ll*res*bs%mod;
        bs=1ll*bs*bs%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    n=read(); m=read();
    inv=a[0]=1;
    for(ll i=2;i<=m;++i) inv=1ll*inv*i%mod;
    inv=qpow(inv,mod-2); tp=qpow(2,n)-1;
    for(ll i=1;i<=m;++i) a[i]=1ll*a[i-1]*(tp-i+1)%mod; dp[0]=1;
    for(ll i=2;i<=m;++i) {
        dp[i]=(a[i-1]-dp[i-1]+mod)%mod;
        dp[i]=(dp[i]-1ll*dp[i-2]*(i-1)%mod*(tp-(i-2)+mod)%mod+mod)%mod;
    }
    printf("%lld",1ll*dp[m]*inv%mod);
    return 0;
}