[JXOI2018]游戏

Description:

九条可怜是一个富有的女孩子

她长大以后创业了，开了一个公司。 但是管理公司是一个很累人的活，员工们经常背着可怜偷懒，可怜需要时不时对办公室进行检查。
可怜公司有 \(n\) 个办公室，办公室编号是 \(l\) 到 \(l+n-1\) ，可怜会事先制定一个顺序，按照这个顺序依次检查办公室。一开始的时候，所有办公室的员工都在偷懒，当她检查完编号是 \(i\) 的办公室时候，这个办公室的员工会认真工作，并且这个办公室的员工通知所有办公室编号是 \(i\) 的倍数的办公室，通知他们老板来了，让他们认真工作。因此，可怜检查完第 \(i\) 个办公室的时候，所有编号是 \(i\) 的倍数(包括 \(i\) )的办公室的员工会认真工作。

可怜发现了员工们通风报信的行为，她发现，对于每种不同的顺序 \(p\) ，都存在一个最小的 \(t(p)\) ，使得可怜按照这个顺序检查完前 \(t(p)\) 个办公室之后，所有的办公室都会开始认真工作。她把这个 \(t(p)\) 定义为 \(p\) 的检查时间。

可怜想知道所有 \(t(p)\) 的和。
但是这个结果可能很大，她想知道和对 \(10^9+7\) 取模后的结果。

Hint:

对于 20% 的数据，\(r-l+1\leq 8\)。
对于另 10% 的数据，\(l=1\)。
对于另 10% 的数据，\(l=2\)。
对于另 30% 的数据，\(l\leq 200\)。
对于 100% 的数据，\(1\leq l\leq r\leq 10^7\)。

Solution:

如果发现了问题的本质,这题就迎刃而解了

我们定义一个不是l~r中任意一个数倍数的数为关键数

不难发现,t(p)的值就是一个排列中最后关键数的位置

考虑筛出所有关键数,然后组合计数:

\[Ans=\sum_{i=sum}^n i*(i-1)!*sum*(_{\ \ \ n-i}^{\ n-sum})*(n-i) ! \]

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1 
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=1e7+5,mod=1e9+7;
int l,r,sum,fac[mxn],ifac[mxn],vis[mxn];
inline int read() {
    char c=getchar(); int x=0,f=1;
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    return x*f;
}
inline int chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
inline int chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}

inline int C(int n,int m) {
    return n<m?0:1ll*fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;
}

int qpow(int a,int b) {
    int res=1,bs=a;
    while(b) {
        if(b&1) res=1ll*res*bs%mod;
        bs=1ll*bs*bs%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    l=read(); r=read(); fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=1;i<=r;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    ifac[r]=qpow(fac[r],mod-2);
    for(int i=r-1;i>=0;--i) ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    for(int i=l;i<=r;++i) {
        if(vis[i]) continue ; ++sum; 
        for(int j=i;j<=r;j+=i) vis[j]=1;
    }
    int ans=0,n=r-l+1;
    for(int i=sum;i<=n;++i) {
        int res=1ll*i*sum%mod*C(n-sum,n-i)%mod*fac[n-i]%mod*fac[i-1]%mod;
        ans=(ans+res)%mod;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}