Prufer序列与有根树（森林）计数

Prufer 序列的构造过程：
 对于一棵有标号无根树，我们每次选择它的所有叶子中标号最小的删去，并将它的父亲的标号加入到一个初始为空的序列末尾，直到剩下两个结点，此时得到的长度为 n-2 的序列即为这棵树的 Prufer 序列。
 对于一个 Prufer 序列，我们每次找到标号最小的没有在序列中出现的点，将它和序列开头的点连边，再将序列开头的那个点从序列中删去，如此循环，最后再在剩下的两个没选过的点之间连边，就可以还原整棵树。
 每棵无根树都对应了一个 Prufer 序列；每个长度为 n-2，元素取值在 1~n 范围内的序列都对应了一棵树，所以不同树的数量为 $ n^{n-2} $。

 
根据 Prufer 序列，我们知道 n 个点的有标号无根树的个数是 \(n^{n-2}\)。

我们还可以发现一个性质，如果一个点在树中的度数为 \(d_i\)，那么它会在 Prufer 序列中出现 \(d_i-1\) 次，那么如果我们限定序列中 \(d_i-1\) 个位置为 i，剩下 \(n-d_i-1\) 个位置为除 i 以外的其他数，那么就可以得到 i 的度数恰好为 \(d_i\) 的树的数量了。也就是：

\[C_{n-2}^{d_i-1}\ (n-1)^{n-d_i-1} \]

类似的，我们可以得到确定了每个点的度数 \(d_i\) 之后的树的数量：

\[\frac{(n-2)!}{\prod(d_i-1)!} \]

 
我们还可以考虑有根树的计数，我们可以在无根树的基础上选一个根，那么方案数为 \(n^{n-1}\) ，也可以考虑构造一个长度为 n-1 的序列，那么相当于每次剥叶子直到剩下一个根，方案数也是 \(n^{n-1}\) 。
 
然后我们考虑有根树森林计数，我们假设有 n 个点，m 棵树，一种方法是我们先选定 m 个根，然后类似的做一个 Prufer 序列的过程，得到一个长度为 n-m 的序列，我们发现只有最后一个位置是只能取 m 个根之一的，剩下的位置都可以在 1~n 中任意取，所以总的数量是：

\[C_n^m\ m\ n^{n-m-1}=C_{n-1}^{m-1}\ n^{n-m} \]

还有一种更为简单的方法是：我们建一个虚点 n+1 ，然后构造一棵 n+1 个点的无根树，并假定以 n+1 号点为根，然后把虚点拆掉，它的儿子就会形成若干棵有根树森林，我们只需要保证 n+1 号点的度数恰好为 m 即可。

所以方案数为：

\[C_{n-1}^{m-1}\ n^{n-m} \]

和上面得到的结果是一样的。

 
接下来我们考虑不限制有多少棵树的有根树森林。

可以由上面建虚点的方法直接得到方案数为\((n+1)^{n-1}\)

也可以枚举有多少个根用二项式定理推导：

\[\sum_{m=1}^n \ C_{n-1}^{m-1}\ n^{n-m}=(n+1)^{n-1} \]