EXCRT

求一个形如\(x\equiv a_i\ (mod\ \ p_i)\) 的线性方程组的解

我们考虑合并两个方程：

\[\begin{cases} x=a_1\ (mod\ \ p_1)\\ \\ x=a_2\ (mod\ \ p_2)\\ \end{cases} \]

先考虑将\(x\)设为\(a_1\)，再不断的加\(p_1\)使得\(x\)在模\(p_2\)意义下为\(a_2\)

我们可以用\(exgcd\)求得一组\(mp_1+np_2= gcd(p_1,p_2)\)的解，即\(mp_1\equiv gcd(p1,p2)\ (mod\ \ p2)\)

也就是说我们每次增加\(mp_1\)即可让\(x\)在模\(p_1\)意义下增加\(gcd(p_1,p_2)\)

令\(d=gcd(p_1,p_2)\)，那么我们应该增加\((a_2-a_1)/d\) 次，即\(x\)应该加上\((a_2-a_1)/d*mp_1\)，然后我们知道方程合并后的模数应该是\(P=p_1*p_2/gcd(p_1,p_2)\)，所以再将结果对\(P\)取模即可。

代码：

LL exgcd(LL x,LL y,LL &a,LL &b){
	LL z;
	return y?(z=exgcd(y,x%y,b,a),b-=x/y*a,z):(a=1,b=0,x);
}
LL mult(LL a,LL b,LL p){
	LL ans=0;
	while(b){
		if(b&1)ans=(ans+a)%p;
		b>>=1; a=(a<<1)%p;
	}
	return ans;
}
struct CRT{
	LL a[N],p[N],P,x;
	bool excrt(LL a1,LL p1,LL a2,LL p2){
		LL m,n,d=exgcd(p1,p2,m,n); 
		LL a=(a2-a1%p2+p2)%p2;
		if(a%d!=0)return false;
		P=p1/d*p2; m=(m%p2+p2)%p2;
		x=(x+mult(a/d*p1,m,P))%P; //注意这里一般先计算a/d*p1，然后再乘m，因为题目一般保证了所有p_i的最小公倍数小于某个值，这样前面的运算就不会溢出，而后面的乘m可能会溢出，所以还要用快速乘。
		return true;
	}
	bool run(){
		x=a[1],P=p[1];
		for(int i=2;i<=n;i++)
			if(!excrt(x,P,a[i],p[i]))
				return false;
		return true;
	}
}crt;

 
 
 
[NOI2018]屠龙勇士

题目要把一个形如\(Ax\equiv a\ (mod\ \ p)\)的方程变成\(x\equiv b(mod\ \ p)\)的形式。

肯定有无解的情况，我们求\(d=gcd(A,p)\)，然后将方程每一项除以\(d\)，如果\(d\)不是\(a\)的约数，那么方程无解。

然后我们得到了等价方程\(A'x\equiv a'\ (mod\ \ p')\)，其中\(A'=A/d,\ a'=a/d,\ p'=p/d\)

我们用\(exgcd\)求得\(mA+np=gcd(A,p)\)的一组解，则这组解满足\(mA'+np'=1\)，即\(mA'\equiv1\ (mod\ \ p')\) ，\(m\)即为\(A'\)在模\(p'\)意义下的逆元。

这样上面的方程就可以转化为\(x\equiv a'm\ (mod\ \ p')\)

这样就是一个\(x\equiv b(mod\ \ p)\)的形式了。

代码：

bool flag=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
	LL A1=A[i],a1=a[i],p1=p[i];
	LL m,n,d=exgcd(A1,p1,m,n); 
	if(a1%d!=0){flag=1; break;}
	A1/=d,a1/=d,p1/=d; m=(m%p1+p1)%p1;
	crt.a[i]=mult(a1,m,p1),crt.p[i]=p1;
}

完整代码