棋盘组合数
在棋盘上，从点(0,0)走到(i,j)的方案数是C(i+j,i)。
不接触某一条直线的方案数
问题：求从点(0,1)走到点(i,j)且不接触直线y=x的路径方案数。
我们可以取(i,j)关于直线y=x的对称点(j,i)，可以发现每一条从(0,1)出发到(i,j)且接触了直线y=x的路径都对应了一条从(0,1)出发到(j,i)的路径，我们只需要把这条路径在最后一次接触直线后的那部分沿y=x翻折即可建立起这样一种对应关系。然后我们将从(0,1)到(i,j)任意走的方案数减去接触了直线的不合法方案数（即从(0,1)到(j,i)的方案数）即可得到合法方案数。 这个方案数为：\(C(i+j-1,i)-C(i+j-1,i-1)\)
不穿过某一条直线的方案数
问题：从(0,0)出发到(i,j)且不穿过直线y=x的方案数。
这时不穿过直线y=x等价于不接触直线y=x-1，所有我们取(i,j)关于直线y=x-1的对称点(j+1,i-1)，那么每条不合法的路径就对应了一条从(0,0)到(j+1,i-1)的路径，那么我们就可以算出合法路径数为：\(C(i+j,i)-C(i+j,i-1)\)
其实就是要把那个点对称过去就可以对应到接触了直线的方案数
