BZOJ 2115 Xor(线性基)

题意：给定一个n<=50000个点m<=100000条边的无向联通图，每条边上有一个权值wi<=1e18。请你求一条从1到n的路径，使得路径上的边的异或和最大.

 

任意一条1到n的路径的异或和，都可以由任意一条1到n路径的异或和与图中的一些环的异或和来组合得到。

为什么？假如我们已经有一条1到n的路径，考虑在出发之前，先走到图中任意一个环上面，走一遍这个环，然后原路返回，这样我们既得到了这个环的异或值（走到环的路径被走过了 2 次，抵消了），也返回了点1。我们可以对任意的环这样做，从而获得这个环的异或值。有了这个性质，不难验证上述结论是正确的。

现在的解题思路就非常明确了，首先找出所有的环（利用 DFS 树中的返祖边来找环），然后找一条任意的1到n的路径，其异或值为ans。则我们就需要选择若干个环，使得这些这些环上的异或值与ans异或起来最大。这就转化为线性基的问题了。

求出所有环的异或值的线性基，由于线性基的良好性质，只需要从大到小考虑选择每个线性基向量能否使得异或值更大即可，容易用贪心证明正确性。

 

# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <cstdlib>
# include <iostream>
# include <vector>
# include <queue>
# include <stack>
# include <map>
# include <set>
# include <cmath>
# include <algorithm>
using namespace std;
# define lowbit(x) ((x)&(-x))
# define pi acos(-1.0)
# define eps 1e-3
# define MOD 1000000007
# define INF 1000000000
# define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
# define FOR(i,a,n) for(int i=a; i<=n; ++i)
# define FO(i,a,n) for(int i=a; i<n; ++i)
# define bug puts("H");
# define lch p<<1,l,mid
# define rch p<<1|1,mid+1,r
# define mp make_pair
# define pb push_back
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
# pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
typedef long long LL;
int Scan() {
    int res=0, flag=0;
    char ch;
    if((ch=getchar())=='-') flag=1;
    else if(ch>='0'&&ch<='9') res=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')  res=res*10+(ch-'0');
    return flag?-res:res;
}
void Out(int a) {
    if(a<0) {putchar('-'); a=-a;}
    if(a>=10) Out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
const int N=50005;
//Code begin...

struct Edge{int p, next; LL w;}edge[N<<2];
int head[N], cnt=1, vis[N], num;
LL p[63], node[N], a[N*5];

void add_edge(int u, int v, LL w)
{
    edge[cnt].p=v; edge[cnt].next=head[u]; edge[cnt].w=w; head[u]=cnt++;
}
void dfs(int x, int fa)
{
    vis[x]=1;
    for (int i=head[x]; i; i=edge[i].next) {
        int v=edge[i].p;
        if (v==fa) continue;
        if (vis[v]) a[++num]=node[v]^node[x]^edge[i].w;
        else node[v]=node[x]^edge[i].w, dfs(v,x);
    }
}
void sol()
{
    FOR(i,1,num) {
        for (int j=62; j>=0; --j) {
            if (!(a[i]>>j)) continue;
            if (!p[j]){p[j]=a[i]; break;}
            a[i]^=p[j];
        }
    }
}
int main ()
{
    int n, m, u, v;
    LL w;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while (m--) scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w), add_edge(u,v,w), add_edge(v,u,w);
    dfs(1,0);
    sol();
    LL ans=node[n];
    for (int i=62; i>=0; --i) if ((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}