概率：计数法则和分配方法

管理者的决策往往是基于对不确定性的分析，比如：
(1) 如果提高价格，则销售量下降的可能性有多大？
(2) 某种新的装配方法将提高生产率的可能性有多大？
(3) 某项工程将按期完成的可能性有多大？
(4) 某项新投资盈利的可能性有多大？

概率是一个事件将会发生的可能性的数值度量。

试验、计数法则和概率分配

在概率论中，我们把可以产生明确结果的过程定义为试验。

一个试验的所有可能的试验结果的集合称为样本空间。

一个试验结果也被称为样本点。

我们用S来表示样本空间:

S = {正面，反面}
S = {合格,不合格}
S = {1,2,3,4,5,6}

计数法则

• 计数法则

  • 多步试验

    • 抛两枚硬币的过程，第一步的一枚有两种情况，第二步的第二枚有两种，故会出现四种情况。

  • 树形图

    • 实例：肯塔基州电力与照明公司KP&L的增加供电能力项目，项目分为两个阶段，设计阶段可能需要2、3、4个月，建设阶段可能需要6、7、8个月。管理人员设定10个月内必须完成。
      

  • 组合计数法则

    • 当实验是从有N个物体的集合中选择n个物体时，组合法则可以选取出组合数
    • 对于N=5，n=2，我们有(54321)/(21)(32*1) = 120/12 = 10种组合
    • 再比如佛罗里达州彩票系统每周从53个整数中随机抽取6个整数作为中奖号码

  • 排列

    • 当实验是从有N个物体的集合中选择n个物体时，同时考虑选择的顺序时

分配概率

无论采用何种方法，都必须满足分配概率的两个基本要求

1. 分配给每个实验记过的概率必须在0和1之间
2. 所有的实验概率之和必须等于1

分配概率的方法：

• 古典法
  • 适用于所有的实验结果都是等可能发生的情况。如果某一实验有n个可能，则每个实验的结果概率都是1/n
• 相对频数法
  • 如果实验被大量重复，并且数据可用来估计实验结果将发生的次数的比例，例如20天内面试的人数。
• 主观法
  • 当实验结果是等可能的假设不可能实现，并且只有少量的相关数据上时
  • 例如：Tom和Judy申请购买一所住房，有两种可能的结果，要么批准，要么驳回、
  • Judy认为申请得到批准的概率是0.8
  • Tom认为申请得到批准的概率是0.6，反映了他对申请得到批准持更悲观的态度。

在商务环境中，古典法和相对频数发都可以应用，但是管理人员可能仍然希望提供主观概率。此时三者相结合，能得到最佳的概率估计。

事件及其概率

样本点的一个集合称为事件。
事件的概率等于事件中所有的样本点概率之和。

练习

1. 从6个项目中任取3项，有多少种取法？以字母A、B、C、D、E、F分别表示这6个项目，列出3个项目中的每一个不同的组合。

任取的时候：
s = 1
for i in range(1,7):
    for j in range(i+1,7):
        for k in range(j+1,7):
            print('取法%s种'%s,i,j,k,)
            s += 1
取法18种 3 4 6
取法19种 3 5 6
取法20种 4 5 6

按顺序取的时候:
s = 1
test = ['A','B','C','D','E','F']
for i in test:
    for j in test:
        for k in test:
            if i != j and i != k and j != k:
                print('取法%s种'%s,i,j,k,)
                s += 1
取法118种 F E B
取法119种 F E C
取法120种 F E D

2. 考虑将一枚硬币执抛3次的试验
   a. 给出试验的树形图
   
   b. 列出试验结果

test1 = ['正','反']
for i in test1:
    for j in test1:
        for k in test1:
            print(i,j,k)

正 正 正
正 正 反
正 反 正
正 反 反
反 正 正
反 正 反
反 反 正
反 反 反

c. 每一种试验结果的概率是多少？
每一种都是均等的1/8。

a.在这一试验中有多少个样本点？列出这些样本点。

step1 = ['支持','反对']
step2 = ['批准','不批准']
for i in step1:
    for j in step2:
        print(i,j)

支持 批准
支持 不批准
反对 批准
反对 不批准

b. 汇出试验的树形图

s=1
for i in range(1,56):
    for j in range(i+1,56):
        for k in range(j+1,56):
            for l in range(k+1,56):
                for p in range(l+1,56):
                    s += 1
print(s)

a. 不同的抽取方式的个数为
3478762

b.中将概率为1/（3478761*3478761）