连续子数组的最大和

题目描述
HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢？例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组，返回它的最大连续子序列的和，你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)

方法一
最直观的方法就是枚举数组中所有的子数组并求和。。。但是这种方法面试官看不上。。。

    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        
    	if(array == null || array.length == 0) {
    		return 0;
    	}
    	
    	if(array.length == 1) {
    		return array[0];
    	}
    	int max = 0;
    	int temp = -65535;
    	for (int i = 0; i < array.length; i++) {
    		max = array[i];
			for (int j = i; j < array.length; j++) {
				if(j != i) {
				max += array[j];
				}
				if(temp <= max) {
					temp = max;
				}
				else {
					continue;
				}
			}
		}
    	
    	return temp;
    }

方法二

用一个total变量记录累计值，maxSum记录和最大
基本思想：对于一个数A，若是A的左边累计数非负，那么加上A能使得值不小于A，认为累计值对整体和是有贡献的，那么total为累计值。如果前几项累计值负数，则认为有害于总和，total应该抛弃之前的值，记录当前值。此时若和大于maxSum 则用maxSum记录下来。

    public int FindGreatestSumOfSubArray_2(int[] array) {
    	if(array == null || array.length == 0) {
    		return 0;
    	}
    	
    	if(array.length == 1) {
    		return array[0];
    	}
    	
    	int total = array[0];
    	int maxSum = array[0];
    	
    	for (int i = 1; i < array.length; i++) {
			if(total >= 0) {
				total += array[i];
			}
			else {
				total = array[i];
			}
			
			if(total > maxSum) {
				maxSum = total;
			}
		}
    	return maxSum;
    }

方法三
利用动态规划的思想，如果函数f(i)表示以第i个数字结尾的子数组的最大和，那么我们需要求出max([f(i)])，可用公式代替：
$f(i)= \left \{\begin{array}{cc} array[i], &i=0或者f(i-1)\leq0\\ f(i-1)+array[i], &i\neq0并且f(i-1)>0 \end{array}\right.$

F（i）：以array[i]为末尾元素的子数组的和的最大值，子数组的元素的相对位置不变
F（i）=max（F（i-1）+array[i] ， array[i]）
res：所有子数组的和的最大值
res=max（res，F（i））
如数组[6, -3, -2, 7, -15, 1, 2, 2]
初始状态：
F（0）=6
res=6
i=1：
F（1）=max（F（0）-3，-3）=max（6-3，3）=3
res=max（F（1），res）=max（3，6）=6
i=2：
F（2）=max（F（1）-2，-2）=max（3-2，-2）=1
res=max（F（2），res）=max（1，6）=6
i=3：
F（3）=max（F（2）+7，7）=max（1+7，7）=8
res=max（F（2），res）=max（8，6）=8
i=4：
F（4）=max（F（3）-15，-15）=max（8-15，-15）=-7
res=max（F（4），res）=max（-7，8）=8
以此类推
最终res的值为8

    public int FindGreatestSumOfSubArray_3(int[] array) {
    	if(array == null || array.length == 0) {
    		return 0;
    	}
    	
    	if(array.length == 1) {
    		return array[0];
    	}
    	
    	int maxSum = array[0];
    	int total = array[0];
    	
    	for (int i = 1; i < array.length; i++) {
    		maxSum = Math.max(maxSum + array[i], array[i]);
    		total = Math.max(maxSum, total);
		}
    	return total;
    }