整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目描述
求出1_{13的整数中1出现的次数,并算出100}1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

方法一
最简单的方法就是遍历区间内所有的数中1的个数…

	public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
		int num = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			num += NumberOf1(i);
		}
		return num;
	}

	public int NumberOf1(int i) {
		int number = 0;
		while(i != 0) {
			if(i % 10 == 1) {
				number++;
			}
			i = i / 10;
		}
		return number;
	}

下面还有两种方法，是我参考牛客上的：
参考链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/bd7f978302044eee894445e244c7eee6

方法二
设N = abcde ,其中abcde分别为十进制中各位上的数字。
如果要计算百位上1出现的次数，它要受到3方面的影响：百位上的数字，百位以下（低位）的数字，百位以上（高位）的数字。
① 如果百位上数字为0，百位上可能出现1的次数由更高位决定。比如：12013，则可以知道百位出现1的情况可能是：100 ~ 199，1100 ~ 1199,2100 ~ 2199，，…，11100 ~ 11199，一共1200个。可以看出是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。

② 如果百位上数字为1，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响。比如：12113，则可以知道百位受高位影响出现的情况是：100 ~ 199，1100 ~ 1199,2100 ~ 2199，，…，11100 ~ 11199，一共1200个。和上面情况一样，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。但同时它还受低位影响，百位出现1的情况是：12100~12113,一共114个，等于低位数字(113)+1。

③ 如果百位上数字大于1（2~9），则百位上出现1的情况仅由更高位决定。
比如12213，则百位出现1的情况是：100 ~ 199,1100 ~ 1199，2100 ~ 2199，…，11100 ~ 11199,12100 ~ 12199,一共有1300个，并且等于更高位数字+1（12+1）乘以当前位数（100）。

	public int NumberOf1Between1AndN_Solution_2(int n) {
		int i = 1;
		int count = 0;
		int current, before, after;
		while((n / i) != 0) {
			current = (n / i) % 10;
			before = n / (i * 10);
			after = n - (n / i) * i;

			if(current == 0) {
				count += before * i;
			}
			else if(current == 1) {
				count += (before * i + after + 1);
			}
			else {
				count += (before + 1) * i;
			}
			i = i * 10;

		}
		return count;
	}

方法三

像类似这样的问题，我们可以通过归纳总结来获取相关的东西。
首先可以先分类：

个位
我们知道在个位数上，1会每隔10出现一次，例如1、11、21等等，我们发现以10为一个阶梯的话，每一个完整的阶梯里面都有一个1，例如数字22，按照10为间隔来分三个阶梯，在完整阶梯0-9，10-19之中都有一个1，但是19之后有一个不完整的阶梯，我们需要去判断这个阶梯中会不会出现1，易推断知，如果最后这个露出来的部分小于1，则不可能出现1（这个归纳换做其它数字也成立）。

我们可以归纳个位上1出现的个数为：

n/10 * 1+(n%10!=0 ? 1 : 0)

十位
现在说十位数，十位数上出现1的情况应该是10-19，依然沿用分析个位数时候的阶梯理论，我们知道10-19这组数，每隔100出现一次，这次我们的阶梯是100，例如数字317，分析有阶梯0-99，100-199，200-299三段完整阶梯，每一段阶梯里面都会出现10次1（从10-19），最后分析露出来的那段不完整的阶梯。我们考虑如果露出来的数大于19，那么直接算10个1就行了，因为10-19肯定会出现；如果小于10，那么肯定不会出现十位数的1；如果在10-19之间的，我们计算结果应该是k - 10 + 1。例如我们分析300-317，17个数字，1出现的个数应该是17-10+1=8个。

那么现在可以归纳：十位上1出现的个数为：

设k = n % 100，即为不完整阶梯段的数字
归纳式为：

(n / 100) * 10 + (if(k > 19) 10 else if(k < 10) 0 else k - 10 + 1)

百位
现在说百位1，我们知道在百位，100-199都会出现百位1，一共出现100次，阶梯间隔为1000，100-199这组数，每隔1000就会出现一次。这次假设我们的数为2139。跟上述思想一致，先算阶梯数 * 完整阶梯中1在百位出现的个数，即n/1000 * 100得到前两个阶梯中1的个数，那么再算漏出来的部分139，沿用上述思想，不完整阶梯数k199，得到100个百位1，100<=k<=199则得到k - 100 + 1个百位1。

那么继续归纳百位上出现1的个数：

设k = n % 1000
归纳式为：

(n / 1000) * 100 + (if(k >199) 100 else if(k < 100) 0 else k - 100 + 1)

后面的依次类推…

再次回顾个位
我们把个位数上算1的个数的式子也纳入归纳式中

k = n % 10
个位数上1的个数为：

n / 10 * 1 + (if(k > 1) 1 else if(k < 1) 0 else k - 1 + 1)

完美！归纳式看起来已经很规整了。 来一个更抽象的归纳，设i为计算1所在的位数，i=1表示计算个位数的1的个数，10表示计算十位数的1的个数等等。

k = n % (i * 10)

count(i) = (n / (i * 10)) * i + (if(k > i * 2 - 1) i else if(k < i) 0 else k - i + 1)

好了，这样从10到10的n次方的归纳就完成了。

sum1 = sum(count(i))，i = Math.pow(10, j), 0<=j<=log10(n)

但是有一个地方值得我们注意的，就是代码的简洁性来看，有多个ifelse不太好，能不能进一步简化呢？ 我们可以把后半段简化成这样，我们不去计算i * 2 - 1了，我们只需保证k - i + 1在[0, i]区间内(即通过0 $\leq$ k $\leq$ 2*i-1可推倒 )就行了，最后后半段可以写成这样：

min(max((n mod (i*10))−i+1,0),i)

代码：

	public int NumberOf1Between1AndN_Solution_3(int n) {
		if(n <= 0) {
			return 0;
		}
		int count = 0;
		for (long i = 1; i <= n; i *= 10) {
			long diviver = i * 10;
			count += (n / diviver) * i +Math.min(Math.max(n % diviver - i + 1, 0), i);
		}
		return count;
	}