Dijkstra 算法正确性证明

Dijkstra正确性证明

Dijkstra算法的本质#

如果你有思考“为什么”的习惯，就一定会发现，Dijkstra 的本质就是动态规划 + BFS 。松弛操作实际上就类似于动态规划中的状态更新。

设 $f(u)$ 为 $s$ 至 $u$ 的最短路径（ $s$ 为源点，下文同）。显然，状态转移方程为：

$$f(u)=mi{n}_{v\in fathers}f(v)+w_{u,v}$$

其中，$fathers$ 表示所有点 $v$ 使得存在边 $e=v\to u$ 。$w_{u,v}$ 则表示该边的权。

这个状态转移方程是显然的，是非常经典的“退一步思考”，即思考点 $u$ 是父节点中哪个点来的。既然我们求的是最短路，当然是能让整条路径最小的那一点。

而 Dijkstra 中，则引入了一切别的策略，本质上都只是优化。

正文#

好了，实际上前文和正文都没关系，只是想要分享一下我对于一个算法的理解。

我们重新回忆算法每一步都干了什么：

1. 在未确定最短路集合 $T$ 中，选择估计最短路最短的点，将其移动至已确定最短路集合 $S$ 中。
2. 利用此点，更新邻近的点（松弛）。

我们无非就是需要证明，每次从 $T$ 集合中拿出的点的估计最短路 $dis(u)$ 与实际最短路 $D(u)$ 相等。

使用反证法，假设此结论不成立，设 $e$ 点是第一个从 $T$ 点中拿出而 $dis(e)\ne D(e)$ 。我们知道，估计最短路一定大于或等于实际最短路，即 $dis(e)\ge D(e)$。

整理，得 $dis(e)>D(e)$ 。

首先讨论一下第一个点能否不满足此结论。

算法刚开始，$T$ 的每个点都为 $+\mathrm{\infty }$ 。随后，$T_s$ 被修改为 0 。

那么，第一次拿出的点一定是 $s$ 。$dis(s)=D(s)=0$ ，满足结论，即 $e\ne s$ 。

接下来讨论不存在 $s\to e$ 的路径时（即 $D(s)=+\mathrm{\infty }$ 时），是否满足结论：

此算法的 $T_e$ 与 $dis(e)$ 的更新依赖于父节点的松弛操作。

若父节点也未曾更新，$T_e$ 与 $dis(e)$ 也都未更新，$dis(e)=D(e)=+\mathrm{\infty }$ 。

若父节点更新过，意味着父节点的父节点也会有更新。不断追溯，发现，最初的更新来源于源点。

也就是说，若父节点更新，是从源点开始一路更新到父节点。那么意味着父节点存在一条路径 $s\to father$。

若 $e$ 点的父节点存在路径，那么 $e$ 点也一定存在一条路径 $s\to father\to e$ 。与讨论条件矛盾。

所以，若 $e$ 点不存在与 $s$ 点的路径时，结论成立。

也就是说 $e$ 点一定存在一条路径 $s\to e$ 。

那么讨论一下该路径的性质。

因为 $e$ 是第一个出错的点，所以在此之前，所有 $u\in S$ 都满足 $dis(u)=D(u)$ 。

若所有 $s\to e$ 的路径上的所有点都满足 $u\in S$ ，显然 $dis(e)=D(e)$ 与假设矛盾。

所以一定有一条路径 $s\to x\to y\to e$ ，其中，$y$ 是路径上第一个属于 $T$ 的点。那么 $x$ 就一定满足 $x\in S$ 。

刚才已经提到，$x$ 一定满足 $dis(x)=D(x)$ 。此时会更新 $y$ 。可以证明，当 $e$ 被取走时，$dis(y)=D(y)$。

$$dis(y)=D(y)\le D(e)<dis(e)$$

但是因为过程 1 的条件，$e$ 被取走时， $e$ 一定是估计最短路最小的，而 $y$ 没有取走，在比较范围内，所以一定有 $dis(y)\ge dis(e)$ 。

但此与前文不等式链相矛盾，所以假设不成立，命题得证。

本证明大部分都取自 OI Wiki .