P2758 编辑距离(dp)

https://www.luogu.com.cn/problem/P2758

https://leetcode.cn/problems/edit-distance/description/
设 $A$ 和 $B$ 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 $A$ 转换为字符串 $B$。这里所说的字符操作共有三种：

• 删除一个字符；
• 插入一个字符；
• 将一个字符改为另一个字符。
  $A,B$均只包含小写字母。

输入格式
第一行为字符串$A$；第二行为字符串$B$；字符串 $A, B$ 的长度均小于$2000$。

输出格式
只有一个正整数，为最少字符操作次数。

输入
sfdqxbw
gfdgw
输出
4
说明/提示
对于 $\%100%$ 的数据，$1 \le |A|, |B| \le 2000$。

转移方程： 如果a[i]与b[j]相等：
那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]，因为在a前i - 1个字符串最少能通过dp[i - 1][j - 1]次操作转化为b前j - 1个字符串的基础上什么都不干，a前i个字符串也能通过最少dp[i - 1][j - 1]次操作就能与b前j个字符相等，dp[i][j] 自然就与 dp[i - 1][j - 1] 相等了。
如果a[i]与b[j]不相等：有以下三种情况

• 添加：$dp[i][j - 1] + 1 \rightarrow→ dp[i][j]$
  在这个情况下，我们知道既然要从dp[i][j - 1]转移到dp[i][j]，说明dp[i][j - 1]在之前的dp中已经算好了，dp[i][j - 1]表示a前i个字符串最少能通过dp[i][j - 1]次操作转化为b前j - 1个字符串。
  那怎么才能让a前i个字符串最少能通过dp[i][j]次操作转化为b前j个字符串呢？
  只要在a[i]后面加一个b[j]，此时如果在a前i个字符上做dp[i][j - 1]同样的操作，我们可以保证a前i个字符与b前j - 1个字符相等，但由于在a后面加了一个字符与b[j]相等。
  所以在a前i个字符上做dp[i - 1][j - 1]同样的操作后就与b前j个字符相等了。因为要做一次添加操作。
  所以dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1。

• 删除：dp[i - 1][j] + 1 \rightarrow→ dp[i][j]
  在这个情况下，我们知道既然要从dp[i - 1][j]转移到dp[i][j]，说明dp[i - 1][j]在之前的dp中已经算好了，dp[i - 1][j]表示a前i - 1个字符串最少能通过dp[i - 1][j]次操作转化为b前j个字符串。
  那怎么才能让a前i个字符串最少能通过dp[i][j]次操作转化为b前j个字符串呢？
  只要把a[i]删掉，此时如果在a前i - 1个字符上做dp[i - 1][j]同样的操作，我们可以保证a前i -1个字符与b前j个字符相等。
  因为我们把a[i]删掉了，所以做与dp[i - 1][j]同样的操作，我们可以保证a前i个字符与b前j个字符相等。
  所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1。

• 替换：dp[i - 1][j - 1] + 1 \rightarrow→ dp[i][j]
  只需要把a[i]替换成b[j]就行了，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1。

洛谷

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring> 
using namespace std;
const int maxn=5e3+100;
int dp[maxn][maxn];
char s[maxn],t[maxn];
int main(){
	memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
	scanf("%s%s",s+1,t+1);
	int lena=strlen(s+1);
	int lenb=strlen(t+1);
	for (int i = 1; i <= lena; i++) dp[i][0] = i;
    for (int i = 1; i <= lenb; i++) dp[0][i] = i;
	dp[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=lena;i++){
		for(int j=1;j<=lenb;j++){
			if(s[i]==t[j]){
				dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]);
			}else{
				dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]))+1;
			}
		}
	}
	cout<<dp[lena][lenb]<<endl;
}

leetcode

class Solution {
public:
//我们用 D[i][j] 表示 A 的前 i 个字母和 B 的前 j 个字母之间的编辑距离
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int n=word1.size(),m=word2.size();
        int dp[n+1][m+1];
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<n+1;i++){
            dp[i][0]=i;
        }
        for(int j=0;j<m+1;j++){
            dp[0][j]=j;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if(word1[i-1]==word2[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }
                else{
                    dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]))+1;
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
};