4.1 线性回归-线性模型

1 回归问题

什么是回归问题
目标值 --- 连续型的数据

应用场景
房价预测
销售额度预测
金融：贷款额度预测、利用线性回归以及系数分析因子

2 什么是线性回归

2.1 定义

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。

特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归
就是找到一种函数关系特征值和目标值之间的关系

那么怎么理解呢？我们来看几个例子
期末成绩：0.7×考试成绩+0.3×平时成绩 y=0.7s1+0.3s2
房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

这个可以看成矩阵的乘法,
上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立的一个关系，这个可以理解为回归方程。

2.2 线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中的关系有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征举例子。

线性关系:

(y=k*x+b)

(y=w1x1+w2x2+---+b)

注释：如果在单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系
更高维度的我们不用自己去想，记住这种关系即可

非线性关系:

注释：为什么会这样的关系呢？原因是什么？我们后面讲解过拟合欠拟合重点介绍
如果是非线性关系，那么回归方程可以理解为：w1x1+w2x2^2+w3x32

线性关系和线性模型，线性关系一定是线性模型，但是线性模型不一定是线性关系

2.3 线性回归的损失和优化原理（理解记忆）

就是为了求w1,w2,w3------wn和b：求模型参数

假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系
真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）
随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子

那么存在这个误差，我们将这个误差给衡量出来
加入我们能够找到一种方法能够一直缩小这个误差直到这个误差为0，我们就可以找到这个真是关系

2.4 损失函数

总损失定义为：

y_i为第i个训练样本的真实值
h(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数
又称最小二乘法

如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！

2.5 优化算法

正规方程（天才-直接求解出来w）
梯度下降（勤奋努力的笨蛋，试错，优化）

2.5.1 正规方程

其实是矩阵求导

理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果
缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

2.5.2 梯度下降

(类似于一个递推公式)

理解：α为学习速率，需要手动指定（超参数），α旁边的整体表示方向(步长)
沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新W值
使用：面对训练数据规模十分庞大的任务，能够找到较好的结果

我们通过两个图更好理解梯度下降的过程

就是让他沿着这个切线的方向走

3.线性回归的API

sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
通过正规方程优化
fit_intercept：是否计算偏置(只能过原点，一般为True)
LinearRegression.coef_：回归系数
LinearRegression.intercept_：偏置

sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate ='invscaling', eta0=0.01)
SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型。
loss:损失类型
loss=”squared_loss”: 普通最小二乘法
fit_intercept：是否计算偏置
learning_rate : string, optional
学习率填充
'constant': eta = eta0(固定值)
'optimal': eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
'invscaling': eta = eta0 / pow(t, power_t)
power_t=0.25:存在父类当中
对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=’constant’ ，并使用eta0来指定学习率。
SGDRegressor.coef_：回归系数
SGDRegressor.intercept_：偏置

4.波士顿房价预测

4.1数据介绍

给定的这些特征，是专家们得出的影响房价的结果属性。我们此阶段不需要自己去探究特征是否有用，只需要使用这些特征。到后面量化很多特征需要我们自己去寻找

流程：
1）获取数据集
2）划分数据集
3）特征工程：无量钢化-标准化
4）预估器的流程
fit()--->模型
coef_intercept_
5)模型评估

4.2代码

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor
def linear1():
    """
    正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """

    #1)获取数据
    bosten = load_boston()
    #2)划分数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(bosten.data,bosten.target,random_state=22)
    #3)标准化
    transfer=StandardScaler()
    x_train=transfer.fit_transform(x_train)
    x_test=transfer.transform(x_test)
    #4）预估器
    estimator=LinearRegression()
    estimator.fit(x_train,y_train)
    #5）得出模型
    print("正规方程-权重系数为：\n",estimator.coef_)
    print("正规方程-偏置为:\n",estimator.intercept_)
    #6）模型评估

    return None


def linear2():
    """
    正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """

    # 1)获取数据
    bosten = load_boston()
    print("特征数量:\n",bosten.data.shape)
    # 2)划分数据集
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(bosten.data, bosten.target, random_state=22)
    # 3)标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.transform(x_test)
    # 4）预估器
    estimator = SGDRegressor()
    estimator.fit(x_train, y_train)
    # 5）得出模型
    print("梯度下降-权重系数为：\n", estimator.coef_)
    print("梯度下降-偏置为:\n", estimator.intercept_)
    # 6）模型评估

    return None
if __name__== "__main__":
    #代码1：正规方程
    linear1()
    #代码2：梯度下降
    linear2()

5.回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：

注：y^i为预测值，¯y为真实值
sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)
均方误差回归损失
y_true:真实值
y_pred:预测值
return:浮点数结果

# 6）模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print("预测房价:\n", y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print("梯度下降-均方误差：\n", error)

这里面是需要调参的：

我们也可以尝试去修改学习率
sgd = SGDRegressor(learning_rate='constant', eta0=0.001)
此时我们可以通过调参数，找到学习率效果更好的值。

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error
def linear1():
    """
    正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """

    #1)获取数据
    bosten = load_boston()
    #2)划分数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(bosten.data,bosten.target,random_state=22)
    #3)标准化
    transfer=StandardScaler()
    x_train=transfer.fit_transform(x_train)
    x_test=transfer.transform(x_test)
    #4）预估器
    estimator=LinearRegression()
    estimator.fit(x_train,y_train)
    #5）得出模型
    print("正规方程-权重系数为：\n",estimator.coef_)
    print("正规方程-偏置为:\n",estimator.intercept_)
    #6）模型评估
    y_predict=estimator.predict(x_test)
    print("预测房价:\n",y_predict)
    error =mean_squared_error(y_test,y_predict)
    print("正规方程-均方误差：\n",error)
    return None


def linear2():
    """
    正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """

    # 1)获取数据
    bosten = load_boston()
    print("特征数量:\n",bosten.data.shape)
    # 2)划分数据集
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(bosten.data, bosten.target, random_state=22)
    # 3)标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.transform(x_test)
    # 4）预估器
    estimator = SGDRegressor(learning_rate="constant",eta0=0.01,max_iter=10000)#调参max_iter为迭代次数
    estimator.fit(x_train, y_train)
    # 5）得出模型
    print("梯度下降-权重系数为：\n", estimator.coef_)
    print("梯度下降-偏置为:\n", estimator.intercept_)
    # 6）模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print("预测房价:\n", y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print("梯度下降-均方误差：\n", error)

    return None
if __name__== "__main__":
    #代码1：正规方程
    linear1()
    #代码2：梯度下降
    linear2()

6. 正规方程和梯度下降对比

文字对比

梯度下降	正规方程
需要选择学习率	不需要
需要迭代求解	一次运算得出
特征数量较大可以使用	需要计算方程，时间复杂度高O(n3)

选择：
小规模数据：

LinearRegression(不能解决拟合问题)
岭回归

大规模数据：

SGDRegressor

拓展-关于优化方法GD、SGD、SAG
1 GD
梯度下降(Gradient Descent)，原始的梯度下降法需要计算所有样本的值才能够得出梯度，计算量大，所以后面才有会一系列的改进。

2 SGD
随机梯度下降(Stochastic gradient descent)是一个优化方法。它在一次迭代时只考虑一个训练样本。

SGD的优点是：

高效
容易实现

SGD的缺点是：

SGD需要许多超参数：比如正则项参数、迭代数。
SGD对于特征标准化是敏感的。
3 SAG
随机平均梯度法(Stochasitc Average Gradient)，由于收敛的速度太慢，有人提出SAG等基于梯度下降的算法

Scikit-learn：SGDRegressor、岭回归、逻辑回归等当中都会有SAG优化

posted @ 2023-06-11 19:23 lipu123 阅读(46) 评论(0) 编辑收藏举报

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