两个子序列的最大点积（dp)

传送门

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的 非空 子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说，[2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。

 

示例 1：

输入：nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]
输出：18
解释：从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6] 。
它们的点积为 (2*3 + (-2)*(-6)) = 18 。
示例 2：

输入：nums1 = [3,-2], nums2 = [2,-6,7]
输出：21
解释：从 nums1 中得到子序列 [3] ，从 nums2 中得到子序列 [7] 。
它们的点积为 (3*7) = 21 。
示例 3：

输入：nums1 = [-1,-1], nums2 = [1,1]
输出：-1
解释：从 nums1 中得到子序列 [-1] ，从 nums2 中得到子序列 [1] 。
它们的点积为 -1 。
 

提示：

1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
-1000 <= nums1[i], nums2[i] <= 100
 

点积：

定义 a = [a1, a2,…, an] 和 b = [b1, b2,…, bn] 的点积为：

 

 

 

 

这里的 Σ 指示总和符号。

这个题一看就知道是dp,然后就是怎么找状态表示和状态表达方程

这里有两种方式

1.dp[i][j]指的是a中前i个并且选第i个，和b中前j个并且选第j个的最大值

这里需要n^2*m^2的复杂度，所以不行

2.dp[i][j]指的是前i个和前j个的最大值

第二种可以选择nums1[i]和nums2[j]，所以我们可以通过这个来写状态转移方程：
(其实对于子序列的很多dp题来讲，都可以使用选不选来写状态转移方程)

1.选择nums1[i]和nums2[j]

1.1不选择前面的 dp[i][j]=nums1[i]*nums2[j]
1.2也选择前面的 dp[i][j]=max(dp[i][j],nums1[i]*nums2[j]+dp[i-1][j-1])
因为dp[i][j]是截止到nums1[i]和nums2[j]中的最大点积，所以只需要dp[i-1][j-1]就可以了
事实上从这里可以看出想法一就是想法二的情况之一
2.选择nums1[i],不选择nums2[j]

等价于dp[i][j-1]
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-1])
3.不选择nums1[i],选择nums2[j]

等价于dp[i-1][j]
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j])

这个就是这个题的思路

 

int xij = nums1[i] * nums2[j];//这个是不选nums1[i]和nums2[j]
f[i][j] = xij;
if (i > 0) {//选nums2[j]不选nums1[i]
       f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
}
if (j > 0) {//选nums1[i]，不选nums1[j]
        f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - 1]);
}
if (i > 0 && j > 0) {//不选nums[i]和nums[j]
        f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + xij);
}

 

 

 

class Solution {
public:
    int f[520][530];
    int maxDotProduct(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n=nums1.size();
        int m=nums2.size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                int xij = nums1[i] * nums2[j];
                f[i][j] = xij;
                if (i > 0) {
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
                }
                if (j > 0) {
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - 1]);
                }
                if (i > 0 && j > 0) {
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + xij);
                }
            }
        }
        return f[n-1][m-1];
    }
};