积性函数

积性函数：

一、定义
      积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
二、常见的积性函数

       φ(n) －欧拉函数，计算与n互质的正整数之数目

       μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

       gcd(n,k)－最大公因子，当k固定的情况

       d(n) －n的正因子数目

       σ(n) －n的所有正因子之和

　　σk(n)－因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。

　　1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）

　　Id(n)－单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）

　　Idk(n)－幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k（完全积性）

　　ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）

　　λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

　　γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

 

常见积性函数的代码：

性质：

1.若将n表示成质因子分解式

则有

 

基本上都是通过这个性质做题，和欧拉筛差不多：

例1：传送门

 

 

 

 这是一个积性函数，满足f(a,b)=f(a)*f(b);

也就是说我们只要把所有质数的N次方算出来即可
合数可以通过质数得出
其他常见的积性函数还有
1.莫比乌斯函数
2.欧拉函数
3.求约数和
4.求约数的个数

 

 

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=13000005;
const int mod=1e9+7;
ll prime[maxn],n,f[maxn];
bool biaoji[maxn];
int cnt;
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    a%=mod;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=(ans*a)%mod;
        }
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
} 
void inint(ll n){
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!biaoji[i]){
            prime[++cnt]=i;
            f[i]=qpow(i,n)%mod;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
            f[i*prime[j]]=(1ll*f[i]*f[prime[j]])%mod;
            biaoji[i*prime[j]]=true; 
            if(i%prime[j]==0){
                break;
            }
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    inint(n);
    ll ans1=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans1=ans1^f[i];
    } 
    printf("%lld\n",ans1);
}

 

 

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/392/C
来源：牛客网

输入描述:

输入一个正整数N。

输出描述:

输出答案Ans。

示例1

输入

复制 3

3

输出

复制 18

18

说明

N=3时，$1^3=1$，$2^3=8$，$3^3=27$，异或和为18。

示例2

输入

复制 2005117

2005117

输出

复制 863466972

863466972

备注:

$1\le N\le 1.3\times 10^7$