成为王的痛苦（前缀最大优化dp)

传送门

D. 成为王的痛苦 [ Problem 4584  ] [ Discussion ]

---

Description

“拔出石中剑，你便是王”。
“拔剑之前,你最好先想一想。因为一旦拔起剑，你将不再是人类,你会被所有人类憎恶，你将最终迎来悲剧的死亡。”魔术师梅林如是说。
然而名为Arturia Pendragone的少女还是拔起了剑，成为了英格兰之王。
一天，王发现她拔出的石中剑上有NN个凹槽，经过多年征战，她一共收集了MM块宝石，并且N≥MN≥M。将每块宝石放到每一个凹槽中都会使石中剑具有一定的美丽值（可能为负数）。
若1≤i<j≤M1≤i<j≤M，则编号为ii的宝石所在的凹槽的编号一定要小于编号为jj的宝石所在的凹槽的编号。
由于王也是女孩子，所以她希望这个美丽值最大。
当然，每个凹槽只能放入一 块宝石，每块宝石也只能放入一个凹槽。
每块宝石都必须被使用到。

Input

第一行，两个整数N,MN,M；
接下来MM行，每行NN个整数，表示这一块宝石放入这一个凹槽的美丽值。

Output

一行，表示美丽值的最大可能值。

Samples

Input Copy

3 2
-10 10 10
0 30 10

Output

20

Hint

【数据范围】

• 对于10%的数据，M=1M=1
• 另外20%的数据，1≤M≤51≤M≤5  M≤N≤20M≤N≤20
• 对于100%的数据，1≤M≤N≤15001≤M≤N≤1500

每个宝石的美丽值保证大于−105−105，小于105105

Source

石光中学 2018 常州 普及组 day6

 

题目大意：

m行n列的矩阵，从一行开始每一行可以选择一个位置的权值
但是如果第一行选择的第j列的位置
那么再往下选的时候只能选大于j 列的列

 

 

 

 

解题思路：

dp[i][j]代表的是前i行选择最后选择第j列的最大值,所以转移方程有dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][k]+a[i][j]，但是这样的话要三层for，会超时的

 

优化方案：

可以用前缀的最大值，对于第i行你只是需要的是上一行中的最大值

其中p[j]代表的是前j行的最大值

所以优化完之后就是

 

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=i;j<=m;j++){//第i行最少已经取了i-1个
        dp[i][j]=max(dp[i][j],p[j-1]+a[i][j]);
    }
    p[i]=dp[i][i];//更新最大值值
    for(int j=i+1;j<=m;j++){
        p[j]=max(p[j-1],dp[i][j]);
    }
}

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=3e3+100;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int a[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn];//dp[i][j]代表的是以第i行以j列结尾的最大值 
int p[maxn];
int main(){
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>a[i][j];
            dp[i][j]=-INF;
        } 
    } 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i;j<=m;j++){
            dp[i][j]=max(dp[i][j],p[j-1]+a[i][j]);
        }
        p[i]=dp[i][i];
        for(int j=i+1;j<=m;j++){
            p[j]=max(p[j-1],dp[i][j]);
        }
    }
    int ma=-INF;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        ma=max(ma,dp[n][i]);
    }
    cout<<ma<<endl;
}