a的b次幂的约数和

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这个不能直接求逆元来做，

a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1,有很多gcd(a,9901)不是1的，所以不能用p-1的mod-2次幂

求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值

 

 

           

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理。

 

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求a与m互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

          

博客

在这里有两种方法求1.可以用二分的方法求等比数列的前N项和

若n为奇数，一共有偶数项

1+p+p^2+.....+p^n=(1+p^(n/2+1))+p*(1+p^(n/2+1))+p^2*(1+p^(n/2+1))+.....+p^(n/2)*(1+p^(n/2+1))=(1+p+p^2+....+p^(n/2))*(1+p^(n/2+1))

若n为偶数，一共有奇数项

1+p+p^2+.....+p^n=(1+p^(n/2+1))+p*(1+p^(n/2+1))+p^2(1+p^(n/2+1))+.....+p^(n/2-1)*(1+p^(n/2+1))+p^(n/2)=(1+p+p^2+.....+p^(n/2-1))*(1+p^(n/2+1)+p^(n/2);

long long sum(long long p,long long n)
{
    if(n==0) return 1;
    if(n%2) return (sum(p,n/2)*(1+power(p,n/2+1)))%mod;
    else return (sum(p,n/2-1)*(1+power(p,n/2+1))+power(p,n/2))%mod; 
}

 

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+100;
const ll mod=9901;
ll a,b;
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=(ans*a)%mod;
        }
        a=(a*a)%mod;
        b/=2;
    }
    return ans%mod;
}

ll sum(ll p,ll k){//1+p^1+p^2+....p^k
    if(k==0){
        return 1;
    }
    if(k&1){//k为奇数 
        return ((1+qpow(p,k/2+1))*sum(p,k/2))%mod;
    }
    else{//k为偶数 
        return ((1+qpow(p,k/2+1))*sum(p,k/2-1)+qpow(p,k/2))%mod;
    }
}
ll cal(){
    ll ans=1;
    int z;
    for(ll i=2;i*i<=a;i++){
        z=0;
        while(a%i==0){
            a/=i;
            z++;
        }
        ans=(ans*sum(i,z*b))%mod;
    }
    if(a!=1){
        ans=(ans*sum(a,b))%mod;
    }
    return ans%mod;
}
int main(){
    while(~scanf("%lld%lld",&a,&b)){
        printf("%lld\n",cal());
    }
    return 0;
} 

 

 方法二：

 

 因为可能会很大，超过int范围，所以在快速幂时要二分乘法。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10005;
const int MOD = 9901;
 
bool prime[N];
int p[N];
int cnt;
 
void isprime()
{
    cnt = 0;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[cnt++] = i;
            for(int j=i+i; j<N; j+=i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}
 
LL multi(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans = 0;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = (ans + a) % m;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = (a + a) % m;
    }
    return ans;
}
 
LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = multi(ans,a,m);
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = multi(a,a,m);
    }
    return ans;
}
 
void Solve(LL A,LL B)
{
    LL ans = 1;
    for(int i=0; p[i]*p[i] <= A; i++)
    {
        if(A % p[i] == 0)
        {
            int num = 0;
            while(A % p[i] == 0)
            {
                num++;
                A /= p[i];
            }
            LL M = (p[i] - 1) * MOD;
            ans *= (quick_mod(p[i],num*B+1,M) + M - 1) / (p[i] - 1);
            ans %= MOD;
        }
    }
    if(A > 1)
    {
        LL M = MOD * (A - 1);
        ans *= (quick_mod(A,B+1,M) + M - 1) / (A - 1);
        ans %= MOD;
    }
    cout<<ans<<endl;
}
 
int main()
{
    LL A,B;
    isprime();
    while(cin>>A>>B)
        Solve(A,B);
    return 0;
}