拓欧
扩展欧几里得
辗转相除法可以来求a,b两个数的最大公约数。而辗转相除的过程中,附带也可以得到满足ax+by=c(△)ax+by=c(△)的解系(X,Y)(X,Y)
先来解决ax+by=gcd(a,b)(∗)ax+by=gcd(a,b)(∗)这一特殊情况。
最简情况:b=0b=0时,gcd(a,b)=agcd(a,b)=a,方程化为ax=aax=a,则一组特殊解为(1,0)(1,0)
当b≠0b≠0时,由辗转相除法gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)可以改写原方程得到
bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)又a%b=a−⌊ab⌋×ba%b=a−⌊ab⌋×b,代入前一方程,得到
ay′+b(x′−⌊ab⌋y′)=gcd(a,b)ay′+b(x′−⌊ab⌋y′)=gcd(a,b)与方程(*)对比ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b),可知:x=y′,y=(x′−⌊ab⌋y′)x=y′,y=(x′−⌊ab⌋y′)得到一组递推关系。
方程依次向下递归可以得到最简情况,得到解(1,0),再由递推关系回代到上一组解,最终可以得到方程(*)的解。 注意到,这是一组特解,并不唯一。
//解方程ax+by=gcd(a,b) 返回gcd(a,b) 得到一组特解(x,y) int extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y){ if(b==0){ x = 1; y = 0; return a; } int r = extend_Euclid(b, a%b, y, x); y -= a/b*x; return r; }
解二元一次线性方程
//求解ax+by=c 返回0为无解,否则返回gcd(a,b)个解,用X[],Y[]存; int X[N], Y[N]; int equation(int a, int b, int c) { int x, y; int g = extend_Euclid(a, b, x, y); if(c % g) return 0; //表示无解 x *= c/g, y *= c/g; for(int k = 0;k < g;k++) { X[k] = (x+b/g*k)%b;//b/g为x的循环节 加 Y[k] = (c-a*X[k])/b;//a/g为y的循环节 减 } return g; }
求逆元
特别地,当有(a,m)=1时,ax≡1(modm)(a,m)=1时,ax≡1(modm)得到的x即是a模m的逆。