逆双线性插值及其推导

逆双线性插值原理及推导

逆双线性插值实现的是对于不规则凸四边形的插值，如下图所示：

设P是A，B按照系数u进行插值得到的点：$P=A+u(B-A),u\in [0, 1]$

同理，设Q是D，C按照系数u进行插值得到的点：$Q=D+u(C-D),u\in [0, 1]$

则X可以表示为P和Q的线性插值：$X=P+(Q-P)v$

将之前得到的P与Q的表示带入，得：

$X=A+u(B-A)+v(D+u(C-D)-A-u(B-A))=A+u(B-A)+v(D-A)+uv(A-B+C-D)$

因为是在二维空间下，因此可以根据每个维度列出的等式联合求解两个未知数u和v。

不妨设：

$$E=B-A\\ F=D-A\\ G=A-B+C-D\\ H=X-A\\ $$

则简化后的等式可以写为：$H=uE+vF+uvG$，取第一个维度进行计算，得：

$u=\frac{H_x-F_xv}{E_x+G_xv}$，回代，可得：

$k_0v^2+k_1v+k_2=0$，其中$k_2=G_xF_y-G_yF_x, k_1=E_xF_y-E_yF_x+H_xG_y-H_yG_x, k_0=H_xE_y-H_yE_x$

因为$u,v\in[0, 1]$，计算得到解后根据范围进行取舍即可。