逆双线性插值及其推导

逆双线性插值原理及推导

逆双线性插值实现的是对于不规则凸四边形的插值，如下图所示：

设P是A，B按照系数u进行插值得到的点：\(P=A+u(B-A),u\in [0, 1]\)

同理，设Q是D，C按照系数u进行插值得到的点：\(Q=D+u(C-D),u\in [0, 1]\)

则X可以表示为P和Q的线性插值：\(X=P+(Q-P)v\)

将之前得到的P与Q的表示带入，得：

\(X=A+u(B-A)+v(D+u(C-D)-A-u(B-A))=A+u(B-A)+v(D-A)+uv(A-B+C-D)\)

因为是在二维空间下，因此可以根据每个维度列出的等式联合求解两个未知数u和v。

不妨设：

\[E=B-A\\ F=D-A\\ G=A-B+C-D\\ H=X-A\\ \]

则简化后的等式可以写为：\(H=uE+vF+uvG\)，取第一个维度进行计算，得：

\(u=\frac{H_x-F_xv}{E_x+G_xv}\)，回代，可得：

\(k_0v^2+k_1v+k_2=0\)，其中\(k_2=G_xF_y-G_yF_x, k_1=E_xF_y-E_yF_x+H_xG_y-H_yG_x, k_0=H_xE_y-H_yE_x\)

因为\(u,v\in[0, 1]\)，计算得到解后根据范围进行取舍即可。