POJ1061/洛谷P1516 青蛙的约会（exgcd）

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入格式

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L

其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

输出格式

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。

输入输出样例

输入 #1复制

1 2 3 4 5

输出 #1复制

4

首先根据题意不难列出方程：假设跳了t天，那么有：

$(t \times m + x) \% L = (t \times n + y) \% L$

取模后相等说明相差了k倍的L。因此可以变形为：

$t \times (m - n) + (x - y) = k \times L$

继续移项，可得：

$t \times (n - m) + k \times L = x - y$

发现这正是喜闻乐见的不定方程的形式。方便起见，令：

a = n - m, b = L, c = x - y, GCD = gcd(a, b), x = t, y = k（此处的x和y与输入的x和y没有关系，仅仅是方便表示）

则方程变为：$ax+by=c$

因为c不一定是GCD的倍数，如果不是的话方程无解，输出impossible即可。否则的话可以进行如下变换：

$$a\frac{x\times GCD}{c} + b\frac{y\times GCD}{c} = GCD$$

这样就可以套exgcd的板子求出来一组特解$(x_0, y_0)$。注意这组特解的$x_0$是对应$\frac{x\times GCD}{c}$这个变量的，相当于换元了。而通解为$x_0 + kk\frac{b}{GCD}$，根据题意我们要找的是一个最小的解。因为kk是在整数范围内取，所以有可能是负的，那么最小的一个解实际上可以用取模的方法求：$x_{min} = x_0 \% \frac{b}{GCD}$（为了防止负数模出问题还要加一个$\frac{b}{GCD}$）。但是因为经过换元了，所以还需要乘$\frac{c}{GCD}$才能得到真正的天数。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll x, y, m, n, L;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  ll d = exgcd(b, a % b, x, y);
  ll t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}
ll gcd(ll a, ll b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main() {
	cin >> x >> y >> m >> n >> L;
	//假设跳了t天
	//(t * m + x) % L == (t * n + y) % L
	//t * (m - n) + (x - y) == k * L
	//t * (m - n) - k * L == y - x
	//t * (n - m) + k * L == x - y
	ll a = n - m, b = L, c = x - y;
	if(a < 0) {
		a = -a;
		c = -c;
	}
	ll GCD = gcd(a, b);
	if(c % GCD != 0) {//无解
		cout << "Impossible";
	} else {
		ll x0, y0;
		exgcd(a, b, x0, y0);
		ll ans = (c / GCD * x0 % (b / GCD) + b / GCD) % (b / GCD);//注意c / GCD的位置
		cout << ans;
	}
	return 0;
}