AcWing1303. 斐波那契前 n 项和（递推/矩阵快速幂）

大家都知道 Fibonacci 数列吧，f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,…,fn=fn−1+fn−2。

现在问题很简单，输入 n 和 m，求 fn 的前 n 项和 Snmodm。

输入格式

共一行，包含两个整数 n 和 m。

输出格式

输出前 n 项和 Snmodm 的值。

数据范围

1≤n≤2000000000,
1≤m≤1000000010

输入样例：

5 1000

输出样例：

12

矩阵快速幂板子题。设前n项和为$S_n$，有$S_n - S_{n - 1} = f_n = f_{n - 1} + f_{n - 2} = S_{n - 1} - S_{n - 2} + S_{n - 2} - S_{n - 3}$，得到$S_n = 2\times S_{n - 1} - S_{n - 3}$，显然转移矩阵为：

2 0 -1

1 0 0

0 1 0

搞一搞就行了

注意转移矩阵有减法，在进行矩阵乘法的时候注意多加几个mod防爆！！！

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
#define int long long
#define N 3
struct Mat
{
    LL m[101][101];
    void print() {
    	for(int i = 1; i <= N; i++) {
    		for(int j = 1; j <= N; j++) {
    			cout << m[i][j] << " ";
    		}
    		cout << endl;
    	}
    }
};//存储结构体
Mat a,e; //a是输入的矩阵，e是输出的矩阵
Mat Mul(Mat x,Mat y, long long mod)
{
    Mat c;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        for(int j=1;j<=N;++j){
            c.m[i][j] = 0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;++i){
        for(int j=1;j<=N;++j){
            for(int k=1;k<=N;++k){
                c.m[i][j] = (c.m[i][j]%mod + x.m[i][k]%mod*y.m[k][j]%mod + mod + mod) % mod;//注意有减法！！得多加mod 要不然就爆了
            }
        }
    }
    return c;
}
Mat pow(Mat x,LL y, long long mod)//矩阵快速幂
{
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		for(int j = 1; j <= N; j++) {
			e.m[i][j] = 0;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		e.m[i][i] = 1;
	}
    Mat ans = e;
    while(y){
        if(y&1) ans = Mul(ans,x,mod);
        x = Mul(x,x,mod);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
long long n, m;
signed main() {
	cin >> n >> m;
	Mat base;
	for(int i = 1; i <= 3; i++) {
		for(int j = 1; j <= 3; j++) {
			base.m[i][j] = 0;
		}
	}
	base.m[1][1] = 2, base.m[1][3] = -1, base.m[2][1] = 1, base.m[3][2] = 1;
	//base.print();
	Mat S;
	for(int i = 1; i <= 3; i++) {
		for(int j = 1; j <= 3; j++) {
			S.m[i][j] = 0;
		}
	}
	S.m[1][1] = 4, S.m[2][1] = 2, S.m[3][1] = 1;
	if(n == 1) cout << 1;
	else if(n == 2) cout << 2;
	else if(n == 3) cout << 4;
	else {
		Mat tmp = pow(base, n - 3, m);
		Mat ans = Mul(tmp, S, m);
		cout << ans.m[1][1];
	}
	return 0;
}