P1063 [NOIP2006 提高组] 能量项链（区间DP）

题目描述

在MarsMar**s星球上，每个MarsMar**s人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有NN颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是MarsMar**s人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为mm，尾标记为rr，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为nn，则聚合后释放的能量为m×r×nm×r×n（MarsMar**s单位），新产生的珠子的头标记为mm，尾标记为nn。

需要时，MarsMar**s人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4N=4，44颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(jj⊕kk)表示第j,kj,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第44、11两颗珠子聚合后释放的能量为：

(44⊕11)=10×2×3=60=10×2×3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

((44⊕11)⊕22)⊕33）=10×2×3+10×3×5+10×5×10=71010×2×3+10×3×5+10×5×10=710。

输入格式

第一行是一个正整数N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)，表示项链上珠子的个数。第二行是NN个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过10001000。第ii个数为第ii颗珠子的头标记(1≤i≤N)(1≤i≤N)，当i<Ni<N时，第ii颗珠子的尾标记应该等于第i+1i+1颗珠子的头标记。第NN颗珠子的尾标记应该等于第11颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数E(E≤2.1×(10)9)E(E≤2.1×(10)9)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入 #1复制

4
2 3 5 10

输出 #1复制

710

区间dp水题。其实就是环形石子合并的思路，将原数组扩展两倍后遍历一遍dfs求解即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[205], dp[205][205];
int dfs(int l, int r, int lmax, int rmax) {
	if(dp[l][r] || l == r) return dp[l][r];
	int ans = 0;
	for(int i = l; i < r; i++) {
		int pr = r + 1;
		if(r + 1 == rmax + 1) pr = lmax;
		ans = max(ans, dfs(l, i, lmax, rmax) + dfs(i + 1, r, lmax, rmax) + a[l] * a[i + 1] * a[pr]);
	}
	dp[l][r] = ans;
	return ans;
}
int main() {

	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		a[i + n] = a[i];
		dp[i][i] = dp[n + i][n + i] = 0;//不合并不会释放能量
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		ans = max(ans, dfs(i, i + n - 1, i, i + n - 1));
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}