牛客小白月赛13 小A买彩票（DP+分数约分）

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来源：牛客网

题目描述

小A最近开始沉迷买彩票，并且希望能够通过买彩票发家致富。已知购买一张彩票需要3元，而彩票中奖的金额分别为1,2,3,4元，并且比较独特的是这个彩票中奖的各种金额都是等可能的。现在小A连续购买了n张彩票，他希望你能够告诉他至少能够不亏本的概率是多少。

输入描述:

一行一个整数N，为小A购买的彩票数量一行一个整数N，为小A购买的彩票数量一行一个整数N，为小A购买的彩票数量

输出描述:

输出一个最简分数a/b，表示小A不亏本的概率。若概率为1，则输出1/1，概率为0，则输出0/1。输出一个最简分数a/b，表示小A不亏本的概率。 \\若概率为1，则输出1/1，概率为0，则输出0/1。输出一个最简分数a/b，表示小A不亏本的概率。若概率为1，则输出1/1，概率为0，则输出0/1。

示例1

输入

2

输出

3/
4的30次方的规模显然没法暴力，根据题目描述考虑DP做法。设DP[i][j]表示买了第i张彩票得到j元钱的概率，根据题目描述可知只能由上一阶段的四种情况转移而来：dp[i][j]=1/4*dp[i-1][j-1]+1/4*dp[i-1][j-2]+1/4*dp[i-1][j-3]+1/4*dp[i-1][j-4];注意概率都相等。这样只需要统计sigma(dp[n][k])(k>=3*n)的概率，加起来就好了。然后就是另一个关键的地方：输出要求是分数形式。由于每次乘的数都是0.25,那么不妨转化为每次乘1再除以4.为了不爆long long，需要在每一轮乘完后进行约分（利用gcd），便能AC。
注意一个坑点：n=0必然不会亏，所以输出0/1.

#include <bits/stdc++.h>
#define N 33
using namespace std;
unsigned long long dp[N][4*N];
int n;
unsigned long long gcd(unsigned long long a,unsigned long long b){ return b?gcd(b,a%b):a;}
int main()
{
    cin>>n;
    int i,j;
    unsigned long long mul=4;//mul实际上是最终的分母 
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=4*n;j++)dp[i][j]=0;
    }

    dp[1][1]=dp[1][2]=dp[1][3]=dp[1][4]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        mul*=4;
        unsigned long long GCD=mul;
        for(j=4*n;j>=i;j--)//到第i轮最少也能获得i元 
        {
            if(j-1>=1)dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*1;
            if(j-2>=1)dp[i][j]+=dp[i-1][j-2]*1;
            if(j-3>=1)dp[i][j]+=dp[i-1][j-3]*1;
            if(j-4>=1)dp[i][j]+=dp[i-1][j-4]*1;
            GCD=gcd(GCD,dp[i][j]);//相当于求出dp[i][1~4*n]所有数和mul的最大公因数，再约分，只能这样一轮一轮整体约 
        }
        mul/=GCD;
        for(j=4*n;j>=i;j--)//约分 
        {
            dp[i][j]/=GCD;
        }
    }
    unsigned long long ans=0;
    for(i=3*n;i<=4*n;i++)//统计答案 
    {
        ans+=dp[n][i];    
    }
    if(n==0||ans==0)
    {
        cout<<"1/1";//如果不买彩票当然不会亏了  千万注意 
        return 0;
    }    
    unsigned long long temp;
    while((temp=gcd(ans,mul))>1)
    {
        ans/=temp,mul/=temp;
    }
    cout<<ans<<'/'<<mul;
}