洛谷P1613 跑路（倍增+最短路）

题目描述

小A的工作不仅繁琐，更有苛刻的规定，要求小A每天早上在6：00之前到达公司，否则这个月工资清零。可是小A偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资，小A买了一个十分牛B的空间跑路器，每秒钟可以跑2^k千米（k是任意自然数）。当然，这个机器是用longint存的，所以总跑路长度不能超过maxlongint千米。小A的家到公司的路可以看做一个有向图，小A家为点1，公司为点n，每条边长度均为一千米。小A想每天能醒地尽量晚，所以让你帮他算算，他最少需要几秒才能到公司。数据保证1到n至少有一条路径。

输入格式

第一行两个整数n，m，表示点的个数和边的个数。

接下来m行每行两个数字u，v，表示一条u到v的边。

输出格式

一行一个数字，表示到公司的最少秒数。

输入输出样例

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4 4
1 1
1 2
2 3
3 4

输出 #1 复制

1
好题。
首先很重要的就是：绝不是求最短路然后倍增距离求解（一开始没仔细读题...蓝题不会这么简单的QAQ）因为比如1到3的最短路可能是5，显然得用两次跑路器，但如果还有一条路长度为8，就能只使用一次跑路器了！
这就提醒我们，一定要利用好这个跑路器，只要两个点之间有一条长度为2的k次方的路径，就能一秒钟走完。因此建一个三维数组,f[i][j][k]表示i到j是否有一条长度为2的k次方的路径，是的话值为1，反之为0；同时建一个mmap数组用来一条边一条边地建立更新过的图（主要用来跑Floyd）。读入时进行初始化，f[x][y][0]=1,mmap[x][y]=1；然后首先进行一个类似Floyd的过程，因为i~k，k~j如果都存在长度为2的p-1次方的路径，那么i~j显然存在长度为2的p次方的路径，四重循环更新f数组，同时mmap[i][j]=1(直接一次跑路器就能解决）。这里要注意p这一重一定要放在最外面！因为这类似于动态规划的“阶段”。
更新完后用压缩过的图跑Floyd就好了（因为N很小）。 

#include <bits/stdc++.h>
#define N 55
using namespace std;
//这个题很重要的一点就是一定不能直接求最短路然后倍增计算！！因为1到3的最短路可能是5，但还有别的长度为2的k次方的路，这样就能直接一秒到达而不是跑两秒了 
bool f[N][N][65]={0};//f[i][j][k]表示i到j是否存在一条长度为2的k次方的边 
int mmap[N][N];
int n,m;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    int i,j,k,p;
    memset(mmap,0x3f3f3f3f,sizeof(mmap));//不能用={0x3f3f3f3f} 
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        f[x][y][0]=1;
        mmap[x][y]=1;
    }
    for(p=1;p<=64;p++)//类似动态规划 p也是阶段 得放到外面 
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                for(k=1;k<=n;k++)
                {
                    if(f[i][k][p-1]&&f[k][j][p-1])
                    {
                        f[i][j][p]=1;
                        mmap[i][j]=1;
                    }
                }
            }
        }
    }
    for(k=1;k<=n;k++)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                mmap[i][j]=min(mmap[i][k]+mmap[k][j],mmap[i][j]);
            }
        }
    }
    cout<<mmap[1][n];
    return 0;
}