洛谷 P2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义:

  1. 子矩阵:从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵(保持行与列的相对顺序)被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如,下面左图中选取第2、4行和第24、5列交叉位置的元素得到一个2×3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2×3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

  1. 相邻的元素:矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素(如果存在的话)是相邻的。

  2. 矩阵的分值:矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务:给定一个nm列的正整数矩阵,请你从这个矩阵中选出一个rc列的子矩阵,使得这个子矩阵的分值最小,并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式:

 

第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,c,意义如问题描述中所述,每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行,每行包含m个用空格隔开的整数,用来表示问题描述中那个nm列的矩阵。

 

输出格式:

 

一个整数,表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

 

输入输出样例

输入样例#1: 
5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
输出样例#1: 
6
输入样例#2: 
7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6
输出样例#2: 
16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成,为

6 5 6

7 5 6

,其分值为:

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成,选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8
9 8 8
5 8 10

【数据说明】

对于%50%的数据,1 ≤ n ≤ 12,1 ≤ m ≤ 12,矩阵中的每个元素1 ≤ a_{ij} ≤ 20

对于%100%的数据,1 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 16,矩阵中的每个元素1 ≤ a_{ij} ≤ 1,000,1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m

解题思路:

边搜索边DP,用深搜枚举出所有行列组合情况(全排列),再用f[i][j]表示已经选了i列,最后一列是j的最小分数,用w[i]表示第i列这行之前的绝对值和,v[i][j]表示第i列到j列间绝对值和 .

状态转移方程:f[i][j] = min(f[i-1][k] + w[j] + v[k][j],f[i][j]);

AC代码:

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #include<iostream>
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 int n,m,c,r,a[18][18],rec[18],f[18][18],w[18],v[18][18],ans = 1 << 30; //w[i] 第i列这行之前的绝对值和,v[i][j]第i列到j列间绝对值和 
 9 //f[i][j]表示已经选了i列,最后一列是j的最小分数
10 
11 void dp() {
12     memset(f,127,sizeof(f));
13     memset(w,0,sizeof(w));
14     memset(v,0,sizeof(v));
15     for(int i = 1;i <= m; i++) 
16         for(int j = 1;j < r; j++)
17             w[i] = w[i] + abs(a[rec[j]][i] - a[rec[j+1]][i]);
18     for(int i = 1;i <= m; i++)
19         for(int j = i + 1;j <= m; j++)
20             for(int k = 1;k <= r; k++)
21                 v[i][j] = v[i][j] + abs(a[rec[k]][i] - a[rec[k]][j]);
22     f[0][0] = 0;
23     for(int i = 1;i <= c; i++)
24         for(int  j = i;j <= m; j++)
25             for(int k = 0;k < j; k++)
26                 f[i][j] = min(f[i-1][k] + w[j] + v[k][j],f[i][j]);//状态转移 
27     for(int i = 1;i <= m; i++)
28         ans = min(ans,f[c][i]);    //找最小答案        
29 }
30 
31 void dfs(int x,int y) {//目前在第y行是哪一行,第x行为候选行 
32     if(y > r) {
33         dp();
34         return ;
35     }
36     if(x > n) return ;
37     dfs(x + 1,y);//不选 
38     rec[y] = x;//第y行为第x行 
39     dfs(x + 1,y + 1);//
40 }
41 
42 int main()
43 {
44     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
45     for(int i = 1;i <= n; i++)
46         for(int j = 1;j <= m; j++)
47             scanf("%d",&a[i][j]);
48     dfs(1,1);
49     printf("%d",ans);
50     return 0;
51 }

 

posted @ 2019-02-24 21:49  Mr^Simon  阅读(160)  评论(0编辑  收藏  举报