洛谷 P2258 子矩阵
题目描述
给出如下定义:
- 子矩阵:从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵(保持行与列的相对顺序)被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如,下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2×3的子矩阵如右图所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一个2×3的子矩阵是
4 7 4
8 6 9
-
相邻的元素:矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素(如果存在的话)是相邻的。
-
矩阵的分值:矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务:给定一个n行m列的正整数矩阵,请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵,使得这个子矩阵的分值最小,并输出这个分值。
(本题目为2014NOIP普及T4)
输入输出格式
输入格式:
第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,c,意义如问题描述中所述,每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的n行,每行包含m个用空格隔开的整数,用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。
输出格式:
一个整数,表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
输入输出样例
说明
【输入输出样例1说明】
该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成,为
6 5 6
7 5 6
,其分值为:
|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。
【输入输出样例2说明】
该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成,选取的分值最小的子矩阵为
9 7 8
9 8 8
5 8 10
【数据说明】
对于%50%的数据,1 ≤ n ≤ 12,1 ≤ m ≤ 12,矩阵中的每个元素1 ≤ a_{ij} ≤ 20
对于%100%的数据,1 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 16,矩阵中的每个元素1 ≤ a_{ij} ≤ 1,000,1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m
解题思路:
边搜索边DP,用深搜枚举出所有行列组合情况(全排列),再用f[i][j]表示已经选了i列,最后一列是j的最小分数,用w[i]表示第i列这行之前的绝对值和,v[i][j]表示第i列到j列间绝对值和 .
状态转移方程:f[i][j] = min(f[i-1][k] + w[j] + v[k][j],f[i][j]);
AC代码:
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<cmath> 4 #include<iostream> 5 6 using namespace std; 7 8 int n,m,c,r,a[18][18],rec[18],f[18][18],w[18],v[18][18],ans = 1 << 30; //w[i] 第i列这行之前的绝对值和,v[i][j]第i列到j列间绝对值和 9 //f[i][j]表示已经选了i列,最后一列是j的最小分数 10 11 void dp() { 12 memset(f,127,sizeof(f)); 13 memset(w,0,sizeof(w)); 14 memset(v,0,sizeof(v)); 15 for(int i = 1;i <= m; i++) 16 for(int j = 1;j < r; j++) 17 w[i] = w[i] + abs(a[rec[j]][i] - a[rec[j+1]][i]); 18 for(int i = 1;i <= m; i++) 19 for(int j = i + 1;j <= m; j++) 20 for(int k = 1;k <= r; k++) 21 v[i][j] = v[i][j] + abs(a[rec[k]][i] - a[rec[k]][j]); 22 f[0][0] = 0; 23 for(int i = 1;i <= c; i++) 24 for(int j = i;j <= m; j++) 25 for(int k = 0;k < j; k++) 26 f[i][j] = min(f[i-1][k] + w[j] + v[k][j],f[i][j]);//状态转移 27 for(int i = 1;i <= m; i++) 28 ans = min(ans,f[c][i]); //找最小答案 29 } 30 31 void dfs(int x,int y) {//目前在第y行是哪一行,第x行为候选行 32 if(y > r) { 33 dp(); 34 return ; 35 } 36 if(x > n) return ; 37 dfs(x + 1,y);//不选 38 rec[y] = x;//第y行为第x行 39 dfs(x + 1,y + 1);//选 40 } 41 42 int main() 43 { 44 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c); 45 for(int i = 1;i <= n; i++) 46 for(int j = 1;j <= m; j++) 47 scanf("%d",&a[i][j]); 48 dfs(1,1); 49 printf("%d",ans); 50 return 0; 51 }