递归函数与算法

一、递归函数

1.1、定义

　　在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。

1.2、递归函数特性

1. 必须有一个明确的结束条件；
2. 每次进入更深一层递归时，问题规模相比上次递归都应有所减少
3. 相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备（通常前一次的输出就作为后一次的输入）。
4. 递归效率不高，递归层次过多会导致栈溢出（在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出）

 2.1、递归的最大深度——997

　　递归函数如果不受到外力的阻止会一直执行下去。但是我们之前已经说过关于函数调用的问题，每一次函数调用都会产生一个属于它自己的名称空间，如果一直调用下去，就会造成名称空间占用太多内存的问题，于是python为了杜绝此类现象，强制的将递归层数控制在了997

示例如下：

# 997理论
def foo(n):
    print(n)
    n += 1
    foo(n)
foo(1)
# 结果
...
995
996
997
报错信息：RecursionError: maximum recursion depth exceeded while calling a Python object

由此我们可以看出，未报错之前能看到的最大数字就是997.当然了，997是python为了我们程序的内存优化所设定的一个默认值，我们当然还可以通过一些手段去修改它：

import sys
print(sys.setrecursionlimit(100000))

我们可以通过这种方式来修改递归的最大深度，刚刚我们将python允许的递归深度设置为了10w，至于实际可以达到的深度就取决于计算机的性能了。不过我们还是不推荐修改这个默认的递归深度。

2.2、递归的应用示例

示例1：

已知alex比egon大两岁，egon比wusir大两岁，wusir比无alan大两岁，alan为40岁，求alex的年龄

1	金鑫	40
2	武sir	42
3	egon	44
4	alex	46

根据几个人的关系，分析结果如下：

age(4) = age(3) + 2     #alex的年龄
age(3) = age(2) + 2     #egon
age(2) = age(1) + 2     #wusir
age(1) = 40             #alan

 因此，计算Alex年龄的递归函数如下：

def age(n):
    if n == 1: return 40
    else: return age(n-1)+2

print(age(4))   #46

 示例2：

递归函数与三级菜单

#三级菜单
menu = {
    '北京': {
        '海淀': {
            '五道口': {
                'soho': {},
                '网易': {},
                'google': {}
            },
            '中关村': {
                '爱奇艺': {},
                '汽车之家': {},
                'youku': {},
            },
            '上地': {
                '百度': {},
            },
        },
        '昌平': {
            '沙河': {
                '老男孩': {},
                '北航': {},
            },
            '天通苑': {},
            '回龙观': {},
        },
        '朝阳': {},
        '东城': {},
    },
    '上海': {
        '闵行': {
            "人民广场": {
                '炸鸡店': {}
            }
        },
        '闸北': {
            '火车战': {
                '携程': {}
            }
        },
        '浦东': {},
    },
    '山东': {},
}

#递归函数实现三级菜单
def threeLM(dic):
    while True:
        for k in dic:print(k)
        key = input('input>>').strip()
        #按b键返回上一级，按q键则退出函数
        if key == 'b' or key == 'q':return key
        elif key in dic.keys() and dic[key]:
            ret = threeLM(dic[key])
            if ret == 'q': return 'q'

threeLM(menu)
#结果如下
北京
上海
山东
input>>北京
海淀
昌平
朝阳
东城
input>>海淀
五道口
中关村
上地
input>>五道口
soho
网易
google
input>>soho
soho
网易
google
input>>

#堆栈实现三级菜单
def StackThreeLM(dic):
    l = [menu]
    while l:
        for key in l[-1]:print(key)
        k = input('input>>').strip()   # 北京
        if k in l[-1].keys() and l[-1][k]:l.append(l[-1][k])
        elif k == 'b':l.pop()   #返回上一级
        elif k == 'q':break     #退出操作

StackThreeLM(menu)

 

二、二分查找算法

l = [2,3,5,10,15,16,18,22,26,30,32,35,41,42,43,55,56,66,67,69,72,76,82,83,88]
比如从这个有序列表中，要查找66的索引，二分查找66索引位置的实现过程如下：

二分查找算法代码如下：

#二分查找算法
def find(l,aim,start=0,end=None):
    if end == None:end = len(l)-1
    if start <= end:
        mid = (end - start) // 2  + start
        if l[mid] > aim:
            return find(l,aim,start=start,end=mid-1)
        elif l[mid] < aim:
            return find(l,aim,start=mid+1,end=end)
        elif l[mid] == aim:
            return mid
    else:
        return None
l = [2,3,5,10,15,16,18,22,26,30,32,35,41,42,43,55,56,66,67,69,72,76,82,83,88]
print('ret :',find(l,66))    #ret : 17