仿射变换与透视变换

转载自：https://www.jianshu.com/p/44cfa0be7c0e

仿射变换与透视变换

仿射变换

用途：

旋转、平移、缩放、反转

方法：

仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量 (平移) 的形式。

\[\left[ \begin{matrix} x'\\y'\\1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{21} & m_{22} & m_{23}\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right]\\ \]

\[x' = m_{11}x + m_{12}y + m_{13}\\ y' = m_{21}x + m_{22}y + m_{23} \]

以上公式将点\((x,y)\)映射到\((x’,y’)\)，在OpenCV中通过指定一个2x3矩阵实现此功能（公式中的m矩阵，是线性变换和平移的组合，\(m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}\)为线性变化参数，\(m_{13},m_{23}\)为平移参数，其最后一行固定为0,0,1，因此，将3x3矩阵简化为2x3）

应用

在OpenCV中，仿射变换通过函数cvWrapAffine(src,dst,mat)实现。

其中mat是2x3的仿射矩阵，该矩阵可以利用函数cvGetAffineTransform(srcTri,dstTri,mat)得到，其中mat是被该函数填充的仿射矩阵，srcTri和dstTri分别是由三个顶点定义的平行四边形。

透视变换（投影变换）

用途

将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果，全景拼接。

方法

透视变换是将图片投影到一个新的视平面，也称作投影映射．它是二维\(（x,y）\)到三维\((X,Y,Z)\)，再到另一个二维\((x’,y’)\)空间的映射．相对于仿射变换，它提供了更大的灵活性，将一个四边形区域映射到另一个四边形区域（不一定是平行四边形）．它不止是线性变换．但也是通过矩阵乘法实现的，使用的是一个3x3的矩阵，矩阵的前两行与仿射矩阵相同\((m_{11},m_{12},m_{13},m_{21},m_{22},m_{23})\)，也实现了线性变换和平移，第三行用于实现透视变换．

\[\left[ \begin{matrix} x'\\y'\\1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{21} & m_{22} & m_{23}\\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right]\\ \]

\[X = m_{11}x + m_{12}y + m_{13}\\ Y = m_{21}x + m_{22}y + m_{23}\\ Z = m_{31}x + m_{32}y + m_{33} \]

\[x' = \frac{X}{Z} = \frac{m_{11}x + m_{12}y + m_{13}}{m_{31}x + m_{32}y + m_{33}}\\ y' = \frac{Y}{Z} = \frac{m_{21}x + m_{22}y + m_{23}}{m_{31}x + m_{32}y + m_{33}} \]

以上公式设变换之前的点是\(z\)值为1的点，它三维平面上的值是\((x,y,1)\)，在二维平面上的投影是\((x,y)\)，通过矩阵变换成三维中的点\((X,Y,Z)\)，再通过除以三维中Ｚ轴的值，转换成二维中的点\((x’,y’)\)。从以上公式可知，仿射变换是透视变换的一种特殊情况．它把二维转到三维，变换后，再转映射回之前的二维空间（而不是另一个二维空间）．

应用

在OpenCV中，透视变换通过函数cvWrapPerspective(src,dst,mat)实现。

透视矩阵是一个3x3的矩阵，在计算矩阵时，可利用函数cvGetPerspectiveTransform(srcQuad,dstQuad,mat)